C语言 9宫格 和为15,如何将1~9填入九宫格,使其横竖斜都等于15?
我已然感觉三四年级是混不下去了,准备回二年级混去了,有木有表哥在读初一的求罩啊。。。
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有人说,在射雕英雄传里面这个题目困扰了瑛姑20多年,后来被黄蓉分分钟就解决了。《射雕英雄传》中,英姑对黄蓉说:“你算法自然精我百倍,可是我问你:将一至九这九个数字排成三列,不论纵横斜角,每三个字相加都是十五,如何排列?”黄蓉当下低声诵道:“九宫之义,法以灵龟,二四为肩,六八为足,右三左七,戴九履一,五居中央。.…”其实,北宋刘牧著的《易数钩隐图》中和这个口诀匹配的还有一首诗:四季九花二重开,三杨五柳七处栽,八哥一唱六鸟应,九宫奇境仙人来。"
灵龟是又是什么?原来灵龟是背负洛书的神龟。
相传,上古伏羲氏时,洛阳东北孟津县境内的黄河中浮出龙马,背负"河图",献给伏羲。伏羲依此而演成八卦,后为《周易》来源。又相传,大禹时,洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟,背驮"洛书",献给大禹。大禹依此治水成功,遂划天下为九州。又依此定九章大法,治理社会,流传下来收入《尚书》中,名《洪范》。《易·系辞上》说:"河出图,洛出书,圣人则之",就是指这两件事。
河图上排列成数阵的黑点和白点,蕴藏着无穷的奥秘;洛书上,纵、横、斜三条线上的三个数字,其和皆等于15,十分奇妙。对此,中外学者作了长期的探索研究,认为这是中国先民心灵思维的结晶,是中国古代文明的第一个里程碑。
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怎样用数学的方法求出来九宫格里面的值?
数学里面对于不知道数的最简单的处理方法就是设置未知数,比如X、Y、Z等,当然这个跟三年级的人能够说的明白不呢?已经不记得小学的时候有木有学未知数了,如果后面出现三年级没有学过的数学方法,还请大家见谅,毕竟以三年级的智商,我就很难向你解释清楚了。
咱们先设置九宫格分别填入的数是:A、B、C、D、E、F、G、H、I
九个数取值范围[1,9],如图:
ABC
DEF
GHI
那么,横竖斜等于15,转化成数学表达式就是:
A+B+C=15、D+E+F=15、G+H+I=15、A+D+G=15、B+E+H=15、C+F+I=15、A+E+I=15、C+E+G=15………………………............................(算式组①)
将算式组①中的等式左右分别相加,合并同类项,提取公因式之后:
3(A+C+G+I)+2(B+D+H+F)+4E=120
设:A+C+G+I=X 、
B+D+H+F=Y
其中:X=A+C+G+I=(A+I)+(C+G)=15-E+15-E=30-2E
同理:Y=B+D+H+F=30-2E
即:3(30-2E)+2(30-2E)+4E=120
所以:E=5
将E=5代入算式组①:A+B+C=15、D+F=10、G+H+I=15、A+D+G=15、B+H=10、C+F+I=15、A+I=10、C+G=10
设:M=N=P=Q=10
其中:M=D+F=10 、N=B+H=10 、 P=A+I=10
、 Q=C+G=10
而从1~9中加起来等于10一共有四组数分别是:1+9、2+8、3+7、4+6
设:J=K=R=S=10
J1=1、J2=9、K1=2、K2=8、R1=3、R2=7、S1=4、S2=6
则:J=J1+J2=1+9 、K=K1+K2=2+8
、R=R1+R2=3+7、S=S1+S2=4+6
前面的这几步设置,无非就是找到四组相加等于10并设置了字母替代相关等式;
这里需要安利两个数学概念:偶数:能够被2整除的整数;奇数:不能够被2整除的整数
所以:奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数、奇数+偶数=奇数
而且,我们可以发现刚才的J、K、R、S正好分别是两组偶数、两组奇数。
E=5代入如图:
ABC
D5F
GHI
观察九宫格我们可以发现:如果确定十字形的B、D、H、F的值,并不能够写出A、C、G、I的值,但是只要确定了位于两个对角线上的A、C、G、I的值,就可以完全确定B、D、F、H的值了。
所以我们先确定A、C、G、I的值,这四个值一共有三种:四个数都是奇数、两个奇数两个偶数、四个数都是偶数。
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下面我们两验证这三种可能:
假设一:对角线上两组数都是奇数,那么中心十字形必然为偶数,以A、B、C为例,则是:A(奇数)+B(偶数)+C(奇数)=偶数 而不会是奇数15。所以,假设一不成立。
假设二:对角线上两组数为一奇一偶的组合,那么以第一行为例,A+B+C=(A+C)+B=奇数+B,如果要等于15,那么B必然为偶然,同理F
也必须为偶然,所以中心十字上两组数都必须为偶数,与前面得出的四组数只有两组奇数两组偶数不符,所以假设二不成立。
假设三:对角线上两组数都为偶数,按前面的方法,以第一行为例,A+B+C=偶数+B,如果要等于15,那么B必然是奇数,同理D、F、H也为奇数。符合前面的J、K、R、S四组数两组奇数两组偶数的规律。
那么,K、S两组数必然是放在对角线上面,J、R两组数放在十字形上面。而:J=J1+J2=1+9
、K=K1+K2=2+8 、R=R1+R2=3+7、S=S1+S2=4+6
1、当K在A—I位置、S在C—G位置时:
①K1在A位置、S1在C位置时,I=K2=8,G=S2=6:
②K1在A位置、S2在C位置时,I=K2=8,G=S1=4:
③K2在A位置、S1在C位置时,I=K1=2,G=S2=6:
④K2在A位置、S2在C位置时,I=K1=2,G=S1=4:
2、当S在A—I位置、K在C—G位置时:
①S1在A位置、K1在C位置时,I=S2=6,G=K2=2:
②S1在A位置、K2在C位置时,I=S2=6,G=K1=8:
③S2在A位置、K1在C位置时,I=S1=4,G=K1=8:
④S2在A位置、K2在C位置时,I=S1=4,G=K1=8:
经过上面的讨论,一共得到八个解。。。。。
这样算是用数学方法解出来的不呢?但是好像这样也是无法给三年级的小朋友说不明白啊。。。。
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到这里,我又产生了一连串的疑问,为什么九宫格横竖斜的和等于15呢?而不可以是其它的数?3X3的九宫格有这个规律,4X4宫格、5X5的宫格是不是也有类似的规律呢?
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此篇文章发于2016年1月10日发表于@巴蜀落红 的个人微博,因2016年2月10日偶登博客,发现文章自动同步到博客时候,造成某些数学标点符号遗漏,特于2月10日重新编辑发布。
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其实,这类N*N的宫格还有一个名字叫做幻方,刚才做的3*3的幻方是最简单的幻方。人们经过研究,得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为:S=n(n^2
1) /2其中n为幻方的阶数,所求的数为S。
关于幻方的规律,在此就不搬运度娘了,大家可以自行前往。