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透视投影中已知两平面的单应矩阵，能否求出这两平面的夹角？

news 来源：原创 2024/5/2 18:21:49

转载：https://www.zhihu.com/question/46805492

透视投影中已知两平面的单应矩阵，能否求出这两平面的夹角？修改

如下图透视投影的例子，已知两个平面上对应点的单应矩阵且两平面上对应点的连线交于O点，能否求出两平面在空间中的夹角？补充一下条件：已知点O到平面π‘的距离及点O在平面π’上的投影点，投影方向为平面π’的法线方向，即已知成像平面为x'oy'平面的相机的内参。
这个问题是我在实际应用中遇到的问题，不知道条件是否充足，是否有解修改

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王小龙数学话题优秀回答者数学，计算机视觉，图形图像处理

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假设有两个摄像头A和B，共光心，内参数矩阵分别是 $K_A$ 和 $K_B$ ,世界坐标系和摄像头A的坐标系重合，那么这两个摄像头的投影矩阵可以设为：

$P_A = K_A[I \ 0]$
$P_B = K_B[R \ 0]$
对于世界坐标系中的一个点 $X$ ，它在两个摄像头对应的图像上的坐标分别为：
$x_A = K_AX$
$x_B = K_BRX$
注意这里的等号是在齐次意义下成立的等号，也就是说给等式任意一边乘上一个非零常数等式依然成立。由这两个关系式就得到了下面这个等式：
$x_B = Hx_A=K_BRK_A^{-1}x_A$
因为两个摄像头共光心，可以用四点算法获得单应矩阵，对单应去除内参数的影响，剩下的就是正交矩阵R了。R的第三行，就是摄像头B在世界坐标系（也就是摄像头A的坐标系）中指向正前方的主轴的单位向量：
$n_B = [r_{31},r_{32},r_{33}]^T$
这个方向也是对应图像平面的法线方向。因为在摄像头坐标系里，Z轴指向正前方，所以根据设定，摄像头A的图像平面的法线方向是
$n_A = [0,0,1]^T$
所以二者夹角的余弦值就是这两个向量的内积，也就是 $r_{33}$ 。

题主把第二问给删了，嘿嘿。第二问是求两平面的方程，确实比较复杂。

如果一个平面的单位法向量是 $n$ ,到原点的距离是 $f$ ，那么平面方程可以写为 $n^Tx+f=0$ 。现在咱们法线方向都有了，关键是要求图像平面到原点的距离。

拿摄像头A来说，设它的内参数是
$K_A = \left( \begin{array}{ccc} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)$
需要从这个矩阵中恢复出图像平面到原点的距离。假设现在有一个平面，平行于XY平面，距离原点的距离是 $f$ ，世界中的一个点 $P=[X,Y,Z]^T$ 投影到这个平面上，坐标就变成了 $[\frac{Xf}{Z}, \frac{Yf}{Z}, f]$ ，这个时候还是三维坐标，但是因为第三个数永远都是 $f$ ，可以把它舍去，把前两个数当做图像平面上的平面坐标，再用齐次坐标的表示方法去表示这个平面坐标，也就是给第三个数强行置1，就变成了下面这个齐次坐标：
$\left( \begin{array}{c} \frac{Xf}{Z} \\ \frac{Xf}{Z} \\ 1 \\ \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} Xf \\ Yf \\ Z \\ \end{array}\right)$
对应的投影矩阵是：
$\left( \begin{array}{ccc} f & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)[I \ 0]$
这个矩阵的内参数矩阵是真实的焦距 $f$ ，它的单位和真实世界的度量吻合，可以是米、毫米。但是在实际中，我们通过标定获得的内参数矩阵 $K_A$ 的对角线是以像素为单位，而不是以米为单位，它是真实焦距 $f$ 乘上了一个有关图像传感器的常数，u像素/米：
$f$ 米乘以 $u$ 像素/米 = $fu$ 像素 = $f_x$ 像素
如果想从 $f_x$ 或者 $f_y$ 中获得原始的 $f$ ，必须有有关传感器的其他知识，比如它的真实尺寸，否则是没法求出来的。