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【人工智能】我的人工智能之旅——线性回归研读

news 来源：原创 2024/5/3 17:39:03

本文将涉及以下知识点

(1)线性关系

(2)线性回归

(3)假设函数

(4)代价函数

(5)学习速率

(6)梯度下降

(7)特征向量

相关的线性代数或微积分知识，可参照另两篇博文

我的人工智能之旅----线性代数基础知识

我的人工智能之旅----微积分基础知识

线性关系

解释线性回归之前，先来看一下线性关系。

什么是线性关系？如果自变量与因变量存在一次方函数关系，那么就成自变量与因变量存在线性关系。例如

y=2x+3 //x为自变量，y为因变量

y=2j+3k+i //j,k,i为自变量，y为因变量

但需要注意的是，类似

y=zx //z,x为自变量，y为因变量

就不是线性关系。

线性关系还必须满足以下条件

$f(ax)=a\cdot f(x)$

线性回归

所谓线性回归，就是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变量间，相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。

即由样本(x,y)，推断y=ax+b的过程。其中a,b为需要推断的常量。那么，问题来了。

(1)为什么是"y=ax+b"型的一元一次结构？而非其它一元N次结构？

(2)如何推算出a，b?

假设函数

先来回答上一小节的问题(1)。可以使用其它一元N次结构。选择一元一次结构只是为了方便。之后的学习，可以换为更复杂的拟合结构。由于我们假设x,y之间存在"y=ax+b"型的映射关系，所以函数f(x)=ax+b被称为假设函数，hypothesis function。

对于假设函数中的参数a,b，我们没有办法直接算出正确的值。也无法让所有样本，都映射到假设函数上。因此，只能推算出对于样本集合整体来说，最佳的a，b取值。

代价函数(损失函数？)

如何评断参数a，b最佳？最佳a，b应使得假设函数求得的数据，与实际数据之间误差的平方和为最小。

注：关于为何使用1/2m，而非1/m，我们在下一小节说明。

由于样本集中的每个样本(x,y)已知，算式中a和b成为了变量，算式可以看作是a，b作为变量的函数。即

该函数，被称为代价函数，cost function，或者平方误差代价函数，squared error cost function。

有了代价函数，推算a,b的问题就演化为，求代价函数何时取到最小值的问题。

当然，除了平方误差代价函数外，还存在其它代价函数。只是平方误差代价函数，是解决线性回归问题最常用的手段罢了。

但不管使用何种代价函数，我们的目的终归是要推算最佳的a,b。那么，如何推算呢？

梯度下降算法

梯度下降算法，gradient descent，用于求函数的最小值。该算法运用了微积分(claculus)中的导数(derivatives)或偏导数(partial derivatives)知识。

简单的说，导数体现了自变量在变化时，对因变量所产生的影响。若存在多个自变量，那么对其中一个变量进行的求导，即为偏导数。换句话说，一个自变量在变化时，对因变量和其它自变量所产生的影响。

若某一点的导数大于0，那么说明，因变量随自变量增大而增大，随自变量减小而减小。若小于0，则因变量随自变量的增大而减小，随自变量减小而增大。依据该特性，我们不断地同时更新a，b的取值，直至(a,b)所对应的点导数为0。那么，如何更新呢？

我们将J(a,b)带入，来看一下运算过程。

还记得上一节的“1/2m”or“1/m”的疑问吗？通过运算，“1/2”被约掉。因此，代价函数之所以取“1/2m”作为参数，是为了运算方便。

将导数结果带入，通过不断的迭代尝试获取和，直至两者的偏导数为0或接近0。此时，得到的a,b的值，即为最佳值(全局最佳，或局部最佳)。

需要注意的是，由于受限于样本集合的大小，该最佳值可能为局部最佳值。

此外，初始点的选取，也将影响最佳值的推算。

可见，梯度下降算法其实是一步一步的试出了对于样本集合最佳的a,b取值。有了a,b的估值，假设函数的真容也便浮出水面了。

梯度下降并非唯一的推算最佳参数的方法。其它常用方法还包括，BFGS算法，L-BFGS算法，共轭梯度法(Conjugate Gradient)等。这些方法远比梯度下降法复杂的多，但优点在于，它们不用人为的选择学习率，甚至可以每次迭代自动使用更优的学习率，因此收敛速度较梯度下降更快。由于篇幅及范围的原因，此处暂不过多涉及。

多元线性回归

至此，我们其实还是在讨论一元一次的简单假设，即一个自变量和一个因变量的情况。但实际遇到的问题并非如此简单。例如，房子的价值，不仅仅与面积有关，还要参考楼层，房龄，房间数量等多重因素，即多元线性回归的问题。

那么，我们的假设函数也相应发生了变化。

f(x_0,x_1,x_2,x_3)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3

这里，我么把参数都变为了

，自变量变为了

(例如，

分别代表楼层,房龄，房间数量，

默认为1)。之所以这样表示，是为了方便矩阵的引入。根据矩阵内积(矩阵与向量的乘法)，

可以表述为

$f(x_0,x_1,x_2,x_3)= \begin{bmatrix} a_0&a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$

若假设向量

$A=\begin{bmatrix} a_0\\a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}$ 向量

$X=\begin{bmatrix} x_0\\x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}$ 那么，

向量A的转置

$\begin{bmatrix} a_0 &a_1 &a_2 &a_3 \end{bmatrix}$

则假设函数转化为

$f(X)=A^{T}X$ ，

其中
称为特征(feature)
， X称为特征向量(feature vector)。

解决多元线性回归的问题，我们同样使用梯度下降算法，即我们要推算出合适的A。而推算过程，我们已在上一小节进行了描述。那么，套用之前的公式，可得到代价函数，

$J(A^T)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^{m}{(f(X_i)-y_i)^2}$

(j=0,1,2,3)的迭代算法则为

${a_j}_{next}={a_j}-\beta \frac{\partial }{\partial a_j}J(A^T)$

其中

$\frac{\partial }{\partial a_j}J(A^T) \\=\frac{\partial }{\partial a_j}(\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^{m}{(f(X_i)-y_i)^2}) \\=\frac{\partial }{\partial a_j}(\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^{m}(a_0+a_1x_i_1+a_2x_i_2+a_3x_i_3-y_i)^2)$

当j=0,1,2,3时，各偏导数为

$\frac{\partial }{\partial a_0}J(A^T)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}{(a_0+a_1x_i_1+a_2x_i_2+a_3x_i_3-y_i)}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}{(f(X_i)-y_i)}$

$\frac{\partial }{\partial a_1}J(A^T)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}{(x_i_1(a_0+a_1x_i_1+a_2x_i_2+a_3x_i_3-y_i))}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}{(x_i_1(f(X_i)-y_i))}$

$\frac{\partial }{\partial a_2}J(A^T)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}{(x_i_2(a_0+a_1x_i_1+a_2x_i_2+a_3x_i_3-y_i))}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}{(x_i_2(f(X_i)-y_i))}$

$\frac{\partial }{\partial a_3}J(A^T)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}{(x_i_3(a_0+a_1x_i_1+a_2x_i_2+a_3x_i_3-y_i))}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}{(x_i_3(f(X_i)-y_i))}$