多普勒效应与多普勒频移
引言：
多普勒效应（doppler effect）与多普勒偏移（doppler shift）代表相同含义，只是在不同文献中表达不同。
产生原因：
波源和观察者之间速度的相对差异是产生多普勒效应的原因
原理：
第一种表示形式：
当波源与观测者以速度 v v v做相对运动时，有
f r = f t ( 1 + v / c 1 − v / c ) = f t ( c + v c − v ) f_r=f_t\left(\frac{1+v / c}{1-v / c}\right)=f_t\left(\frac{c+v}{c-v}\right) fr=ft(1−v/c1+v/c)=ft(c−vc+v)
其中， f r f_r fr是观测者接受到的频率， f t f_t ft是波源的频率， c c c代表光速
多普勒频移 f d f_d fd可以表示为：
f d = f r − f t = 2 v f t ( c − v ) f_d=f_r-f_t=2 v \frac{f_t}{(c-v)} fd=fr−ft=2v(c−v)ft
由于 v ≪ c v \ll c v≪c，因此多普勒频移 f d f_d fd可以约等于成：
f d ≈ 2 v f t c f_d \approx 2 v \frac{f_t}{c} fd≈2vcft
第二种表示形式：
波源静止，当接收端以恒定的速率 v v v 在长度为d，端点为 X和 Y的路径上运动时收到来自波源 S发出的信号，无线信号从波源S出发，在X点与Y点被接收端接收时所走的路径差可近似表示为:
Δ l = d ⋅ cos Θ = v ⋅ Δ t ⋅ cos Θ \Delta \mathrm{l}=\mathrm{d} \cdot \cos \Theta=v \cdot \Delta \mathrm{t} \cdot \cos \Theta Δl=d⋅cosΘ=v⋅Δt⋅cosΘ
每个波长对应 2 π r a d 2 \pi \mathrm{rad} 2πrad 的相位变化，由于路程差造成的接收端信号相位变化值为:
Δ φ = 2 π ⋅ Δ l λ = 2 π ⋅ v ⋅ Δ t λ ⋅ cos Θ \Delta \varphi=2 \pi \cdot \frac{\Delta \mathrm{l}}{\lambda}=2 \pi \cdot \frac{v \cdot \Delta \mathrm{t}}{\lambda} \cdot \cos \Theta Δφ=2π⋅λΔl=2π⋅λv⋅Δt⋅cosΘ
求相位和时间的导数，可得到相位随时间的变化率，即角频率 w \mathrm{w} w 为:
w = Δ φ Δ t = 2 π ⋅ v λ ⋅ cos Θ \mathrm{w}=\frac{\Delta \varphi}{\Delta \mathrm{t}}=2 \pi \cdot \frac{v}{\lambda} \cdot \cos \Theta w=ΔtΔφ=2π⋅λv⋅cosΘ
多普勒频移与角频率的关系为: w = 2 π f d w=2 \pi \mathrm{f}_{\mathrm{d}} w=2πfd
即 f d = 1 2 π ⋅ w = v λ ⋅ cos Θ \text { 即 } f_d=\frac{1}{2 \pi} \cdot \mathrm{w}=\frac{v}{\lambda} \cdot \cos \Theta 即 fd=2π1⋅w=λv⋅cosΘ
波长与频率之间的关系式为：
c = λ ⋅ f t \mathrm{c}=\lambda \cdot \mathrm{f_t} c=λ⋅ft
所以多普勒频移的关系式也可以是这样：
f d = 1 2 π ⋅ w = f t ⋅ v c ⋅ cos Θ \mathrm{f}_{\mathrm{d}}=\frac{1}{2 \pi} \cdot \mathrm{w}=\frac{\mathrm{f_t} \cdot v}{\mathrm{c}} \cdot \cos \Theta fd=2π1⋅w=cft⋅v⋅cosΘ
