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高等数学（第七版）同济大学习题6-3 个人解答

news 来源：原创 2024/5/6 0:05:28

高等数学（第七版）同济大学习题6-3

函数作图软件：Mathematica

$\begin{aligned}&1. \ 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F（单位：N）与伸长量s（单位：cm）成正比，\\\\&\ \ \ \ 即F=ks（k是比例常数）.如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所作的功.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ W=\int_{0}^{6}ksds=18k\ (N\cdot cm)=0.18k\ (J) & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&2. \ 直径为20cm、高为80cm的圆筒内充满压强为10N/cm^2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小\\\\&\ \ \ \ 一半，问需要作多少功？&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 根据pV=k为常数，得出k=10\cdot 100^2\cdot \pi \cdot 0.1^2\cdot 0.8=800\pi，设圆筒内高度减少h\ m时蒸汽的压强为p(h)\ N/m^2，\\\\ &\ \ 得p(h)=\frac{k}{V}=\frac{800\pi}{(0.8-h)S}，压力为P=p(h)S=\frac{800\pi}{0.8-h}，要作的功为W=\int_{0}^{0.4}\frac{800\pi}{0.8-h}dh=\\\\ &\ \ 800\pi[-ln(0.8-h)]_{0}^{0.4}=800\pi\ ln\ 2 \approx 1742(J) & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&3. \ &\end{aligned}$

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是W=\frac{mgRh}{R+h}，其中g是重力加速度，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ R是地球的半径；\\\\ &\ \ (2)\ \ 一颗人造地球卫星的质量为173kg，在高于地面630km处进入轨道。问把这颗卫星从地面送到630km的高空处，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 克服地球引力要作多少功？已知g=9.8\ m/s^2，地球半径R=6370km. & \end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ 质量为m的物体与地球中心相距x时，引力为F=G\frac{mM}{x^2}，根据mg=G\frac{mM}{R^2}，得G=\frac{R^2g}{M}，所作的功\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 为W=\int_{R}^{R+h}\frac{mgR^2}{x^2}dx=mgR^2\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)=\frac{mgRh}{R+h}.\\\\ &\ \ (2)\ 所作的功为W=\frac{mgRh}{R+h}=971973 \approx 9.72 \times 10^5\ (kJ). & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&4. \ 一物体按规律x=ct^3做直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比。计算物体由x=0移至x=a时，\\\\&\ \ \ \ 克服介质阻力所作的功.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 速度为v=\frac{dx}{dt}=3ct^2，阻力为R=kv^2=9kc^2t^4，得dW=Rdx=27kc^3t^6dt，设当t=T时，x=a，\\\\ &\ \ 得T=\left(\frac{a}{c}\right)^{\frac{1}{3}}，所作的功为W=\int_{0}^{T}27kc^3t^6dt=\frac{27kc^3}{7}T^7=\frac{27}{7}kc^{\frac{2}{3}}a^{\frac{7}{3}} & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&5. \ 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，\\\\&\ \ \ \ 将铁钉击入木板1cm.如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入木板多少？&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 设木板对铁钉的阻力为R，则铁钉击入木板的深度为h时的阻力为R=kh，其中k为常数。铁锤第一次击入所作\\\\ &\ \ 的功为W_1=\int_{0}^{1}Rdh=\int_{0}^{1}khdh=\frac{1}{2}k，设铁锤第二次击入，铁钉击入h_0cm，则铁锤第二次击入所作的功为\\\\ &\ \ W_2=\int_{1}^{1+h_0}Rdh=\int_{1}^{1+h_0}khdh=\frac{1}{2}k[(1+h_0)^2-1]，根据条件可知W_1=W_2，得h_0=\sqrt{2}-1. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&6. \ 设一圆锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以泵将水吸尽，问要作多少功？&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 取高度h为积分变量，它的变化区间为[0, \ 15]，对该区间的任一小区间[h, \ h+dh]，体积为\pi\left(\frac{10}{15}h\right)^2dh，\\\\ &\ \ 记\gamma为水的密度，得所作的功为W=\int_{0}^{15}\frac{4}{9}\pi \gamma gh^2(15-h)dh=1875\pi \gamma g \approx 5.76975 \times 10^7(J) & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&7. \ 有一闸门，它的形状和尺寸如图6-32所示，水面超过门顶2m，求闸门上所受的水压力.&\end{aligned}$

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解：

$\begin{aligned} &\ \ 设水深x\ m的地方压强为p(x)，则p(x)=1000gx，取x为积分变量，它的变化区间为[2, \ 5]，对该区间\\\\ &\ \ 的任一小区间[x, \ x+dx]，压力为dF=p(x)dS=2p(x)dx=2000gxdx，得闸门上所受的水压力为\\\\ &\ \ F=\int_{2}^{5}2000gxdx=1000g[x^2]_{2}^{5}=21000g(N) \approx 205.8(kN). & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&8. \ 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图6-33所示。当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力.&\end{aligned}$

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解：

$\begin{aligned} &\ \ 以侧面椭圆长轴为x轴，短轴为y轴建立坐标系，该椭圆方程为x^2+\frac{y^2}{0.75^2}=1，取y为积分变量，它的变化\\\\ &\ \ 区间为[-0.75, \ 0.75]，对该区间的任一小区间[y, \ y+dy]，该小区间相应的水深为0.75-y，则相应面积为\\\\ &\ \ dS=2\sqrt{1-\frac{y^2}{0.75^2}}dy，得该小区间相应的压力dF=1000g(0.75-y)dS=2000g(0.75-y)\sqrt{1-\frac{y^2}{0.75^2}}dy，\\\\ &\ \ 因此所受压力为F=\int_{-0.75}^{0.75}2000g(0.75-y)\sqrt{1-\frac{y^2}{0.75^2}}dy \approx 17318(N) \approx 17.3(kN). & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&9. \ 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m.较长的底边与水面相齐.计算闸门的一侧\\\\&\ \ \ \ 所受的水压力.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 建立如图坐标系，右侧直线方程为y=10x-50，取y为积分变量，它的变化区间为[-20, \ 0]，对应小区间\\\\ &\ \ [y, \ y+dy]的面积近似值为2xdy=\left(\frac{y}{5}+10\right)dy，\gamma表示水的密度，得水压力为\\\\ &\ \ P=\int_{-20}^{0}\left(\frac{y}{5}+10\right)(-y)\gamma gdy=1.4373 \times 10^7(N)=14373(kN). & \end{aligned}$
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$\begin{aligned}&10. \ 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而\\\\&\ \ \ \ \ \ 顶离水面3cm，试求它每面所受的压力.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 建立如图坐标系，取三角形顶点为原点，取x为积分变量，它的变化区间为[0, \ 0.06]，知三角形右下点坐标\\\\ &\ \ 为(0.06, \ 0.04)，因此三角形右边直线方程为y=\frac{2}{3}x，对应小区间[x, \ x+dx]的面积近似值为\\\\ &\ \ dS=2\cdot \frac{2}{3}x\cdot dx=\frac{4}{3}xdx，记\gamma为水的密度，则在x处的水压强为p=\gamma g(x+0.03)=1000g(x+0.03)，\\\\ &\ \ 得水压力为F=\int_{0}^{0.06}1000g(x+0.03)\cdot \frac{4}{3}xdx=0.168g \approx 1.65(N) & \end{aligned}$
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$\begin{aligned}&11. \ 设有一长度为l、线密度为\mu的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，\\\\&\ \ \ \ \ \ 试求这细棒对质点M的引力.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 建立如图坐标系，取y为积分变量，它的变化区间为[0, \ l]，对应小区间[y, \ y+dy]与质点M的引力的大小的\\\\ &\ \ 近似值为dF=G\frac{m\mu dx}{r^2}，其中r=\sqrt{a^2+x^2}，把该力分解，得x轴、y轴方向的分量为\\\\ &\ \ dF_x=-\frac{a}{r}dF=-G\frac{am\mu}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx，dF_y=\frac{x}{r}dF=G\frac{m\mu x}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx，因此F_x=\int_{0}^{l}-G\frac{am\mu}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx，\\\\ &\ \ 令x=atan\ t，得\int_{0}^{l}-G\frac{am\mu}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx=-G\frac{m\mu}{a}\int_{0}^{arctan\frac{l}{a}}cos\ tdt=-\frac{Gm\mu l}{a\sqrt{a^2+l^2}}，\\\\ &\ \ F_y=\int_{0}^{l}G\frac{m\mu x}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\left[-G\frac{m\mu}{(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}}}\right]_{0}^{l}=m\mu G\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{a^2+l^2}}\right) & \end{aligned}$
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$\begin{aligned}&12. \ 设有一半径为R、中心角为\varphi的圆弧形细棒，其线密度为常数\mu。在圆心处有一质量为m的质点M。\\\\&\ \ \ \ \ \ 试求这细棒对质点M的引力.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 建立如图坐标系，虚线夹角为\varphi，相应小区间[\theta, \theta+d\theta]的弧长为Rd\theta，根据对称性可知所求的铅直方向引力分量\\\\ &\ \ 为零，水平方向的引力分量为F_x=\int_{\frac{\varphi}{2}}^{\frac{\varphi}{2}}cos\ \theta\frac{Gm\mu Rd\theta}{R^2}=\frac{2Gm\mu}{R}sin\frac{\varphi}{2}，则所求引力大小为\frac{2Gm\mu}{R}sin\frac{\varphi}{2}，方向\\\\ &\ \ 为M指向圆弧中心 & \end{aligned}$
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