自动控制原理7.4---离散系统的数学模型

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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4.离散系统的数学模型

4.1 离散系统的数学定义

将输入序列$r(n)，n=0，\pm 1，\pm 2，\dots ，$变换为输出序列$c(n)$的一种变换关系，称为离散系统；

记为：
$$c(n)=F[r(n)]\text{\hspace{1em}(1)}$$
如果上式的变换关系是线性的，称为线性离散系统；如果变换关系是非线性的，称为非线性离散系统；

1. 线性离散系统

   如果离散系统满足叠加原理，称为线性离散系统；即：

   若$c_1(n)=F[r_1(n)]，c_2(n)=F[r_2(n)]$，且$r(n)=a{r}_1(n)\pm b{r}_2(n)$，其中$a、b$为任意常数，则：
   $$c(n)=F[r(n)]=F[a{r}_1(n)\pm b{r}_2(n)]=aF[r_1(n)]\pm bF[r_2(n)]=a{c}_1(n)\pm b{c}_2(n)\text{\hspace{1em}(2)}$$

2. 线性定常离散系统

   输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称为线性定常离散系统；

4.2 线性常系数差分方程及其解法

对于一般的线性定常离散系统，$k$时刻的输出$c(k)$不但与$k$时刻的输入$r(k)$有关，且与$k$时刻以前的输入$r(k-1)，r(k-2)，\dots ,$有关，同时还与$k$以前的输出$c(k-1),c(k-2),\dots ,$有关；这种关系可用$n$阶后向差分方程描述：
$$\begin{array}{rl}& c(k)+a_{1}c(k-1)+a_{2}c(k-2)+\cdots +a_{n-1}c(k-n+1)+a_{n}c(k-n)\\ =& b_{0}r(k)+b_{1}r(k-1)+\cdots +b_{m-1}r(k-m+1)+b_{m}r(k-m)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
亦可表示为：
$$c(k)=-\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)+\sum _{j=0}^m{b}_{j}r(k-j)\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中：$a_i(i=1,2,\dots ,n)、b_j(j=0,1,2,\dots ,m)$为常系数，$m\le n$；

式(4)称为$n$阶线性常系数差分方程；

线性定常离散系统亦可采用如下$n$阶前向差分方程描述：
$$\begin{array}{rl}& c(k+n)+a_{1}c(k+n-1)+a_{2}c(k+n-2)+\cdots +a_{n-1}c(k+1)+a_{n}c(k)\\ =& b_{0}r(k+m)+b_{1}r(k+m-1)+b_{2}r(k+m-2)+\cdots +b_{m-1}r(k+1)+b_{m}r(k)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
亦可表示为：
$$c(k+n)=-\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k+n-i)+\sum _{j=0}^m{b}_{j}r(k+m-j)\text{\hspace{1em}(6)}$$
常系数线性差分方程的求解：

1. 迭代法

   实例分析：

   Example1： 已知差分方程
   $$c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)$$
   输入序列$r(k)=1$，初始条件为$c(0)=1，c(1)=1$，用迭代法求输出序列$c(k)，k=0,1,2,\dots ,6；$

   解：

   根据初始条件和递推关系：
   $$\begin{array}{rl}& c(0)=0\\ & c(1)=1\\ & c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6\\ & c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25\\ & c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90\\ & c(5)=r(5)+5c(4)-6c(3)=301\\ & c(6)=r(6)+5c(5)-6c(4)=966\end{array}$$

2. $z$变换法

   实例分析：

   Example2： 用$z$变换法解下列二阶差分方程：
   $$c^{\ast }(t+2T)+3c^{\ast }(t+T)+2c^{\ast }(t)=0$$
   设初始条件为$c(0)=0,c(1)=1$；

   解：

   对差分方程每一项进行$z$变换，根据实数位移定理：
   $$\begin{array}{rl}& z[c(k+2)]=z^{2}C(z)-z^{2}c(0)-zc(1)=z^{2}C(z)-z\\ & z[3c(k+1)]=3zC(z)-3zc(0)=3zC(z)\\ & z[2c(k)]=2C(z)\end{array}$$
   差分方程变换为如下$z$代数方程：
   $$(z^2+3z+2)C(z)=z$$
   可得：
   $$C(z)=\frac{z}{z^2+3z+2}=\frac{z}{z+1}-\frac{z}{z+2}$$
   求$z$反变换：
   $$c^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[(-1{)}^n-(-2{)}^n\right]\delta (t-nT)$$

4.3 脉冲传递函数

1. 脉冲传递函数定义

   线性连续系统传递函数定义：在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比；

   设开环离散系统如下图所示：
   如果系统初始条件为零，输入信号为$r(t)$，采样后$r^{\ast }(t)$的$z$变换函数为$R(z)$，系统连续部分的输出为$c(t)$，采样后$c^{\ast }(t)$的$z$变换函数为$C(z)$，则线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：系统输出采样信号的$z$变换与输入采样信号的$z$变换之比，记为：
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{{\sum }_{n=0}^{\infty }c(nT)z^{-n}}{{\sum }_{n=0}^{\infty }r(nT)z^{-n}}\text{\hspace{1em}(7)}$$
   零初始条件：指在$t<0$时，输入脉冲序列各采样值$r(-T)，r(-2T),\dots$及输出脉冲序列各采样值$c(-T),c(-2T),\dots$均为零；

   如果已知$R(z)、G(z)$，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为：
   $$c^{\ast }(t)=Z^{-1}[C(z)]=Z^{-1}[G(z)R(z)]\text{\hspace{1em}(8)}$$

2. 脉冲传递函数意义

   对于线性定常离散系统，如果输入为单位序列：
   $$r(nT)=\delta (nT)=\{\begin{array}{ll}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
   则系统输出称为单位脉冲响应序列，记为：
   $$c(nT)=K(nT)\text{\hspace{1em}(10)}$$
   由于线性定常离散系统的位移不变性，当输入单位脉冲序列沿时间轴后移$k$个采样周期，成为$\delta [(n-k)T]$时，输出单位脉冲响应序列相应后移$k$个采样周期，成为$K[(n-1)T]$；$K(nT)、K[(n-k)T]$称为加权序列，加权的含意：当对一个连续信号采样时，每一采样时刻的脉冲值，就等于该时刻的函数值；

   由离散卷积表达式可知：
   $$C(z)=K(z)=\sum _{n=0}^{\infty }K(nT)z^{-n}\text{\hspace{1em}(11)}$$
   脉冲传递函数含义：系统脉冲传递函数$G(z)$，就等于系统加权序列$K(nT)$的$z$变换；

   如果描述线性定常离散系统的差分方程为：
   $$c(nT)=-\sum _{k=1}^n{a}_{k}c\left[(n-k)T\right]+\sum _{k=0}^m{b}_{k}r[(n-k)T]\text{\hspace{1em}(12)}$$
   则有：
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{{\sum }_{k=0}^m{b}_k{z}^{-k}}{1+{\sum }_{k=1}^n{a}_k{z}^{-k}}\text{\hspace{1em}(13)}$$

3. 脉冲传递函数的求法

   连续系统或元件的脉冲传递函数$G(z)$，可通过其传递函数$G(s)$求取；

   实例分析：

   Example3： 设某环节的差分方程为
   $$c(nT)=r[(n-k)T]$$
   求其脉冲传递函数$G(z)$；

   解：

   对差分方程取$z$变换，由实数位移定理可得：
   $$C(z)=z^{-k}R(z)，G(z)=z^{-k}$$
   当$k=1$时，$G(z)=z^{-1}$，在离散系统中其物理意义代表一个延迟环节；把其输入序列右移一个采样周期后再输出；

   实例分析：

   Example4： 设开环系统如下图所示，求相应的脉冲传递函数$G(z)$；
   解：

   将$G(s)$展成部分分式：
   $$G(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a}$$
   可得：
   $$G(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-aT}}=\frac{z(1-e^{-aT})}{(z-1)(z-e^{-aT})}$$

4.4 开环系统脉冲传递函数

1. 采样拉氏变换两个重要性质

   1. 采样函数的拉氏变换具有周期性，即：
      $$G^{\ast }(s)=G^{\ast }(s+jk{\omega }_s)，其中：{\omega }_s为采样角频率\text{\hspace{1em}(14)}$$

   2. 若采样函数的拉氏变换$E^{\ast }(s)$与连续函数的拉氏变换$G(s)$相乘后再离散化，则$E^{\ast }(s)$可以从离散符号中提出来，即：
      $$[G(s)E^{\ast }(s){]}^{\ast }=G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)\text{\hspace{1em}(15)}$$

2. 有串联环节的开环系统脉冲传递函数

   1. 串联环节间有采样开关

      设开环离散系统如下图所示，在两个串联连接环节$G_1(s)、G_2(s)$间，有理想采样开关隔开；
      串联环节间有采样开关开环系统脉冲传递函数为：
      $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=G_1(z)G_2(z)\text{\hspace{1em}(16)}$$
      有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积，可推广到$n$个环节的串联；

   2. 串联环节间无采样开关

      设开环离散系统如下图所示，在两个串联连接环节$G_1(s)、G_2(s)$间，无理想采样开关隔开；
      串联环节间无采样开关开环系统脉冲传递函数为：
      $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=G_1{G}_2(z)\text{\hspace{1em}(17)}$$
      没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的相应$z$变换，可推广到$n$个环节的串联；

      实例分析：

      Example5： 设开环离散系统如下图所示，输入信号$r(t)=1(t)$，求系统(a)和(b)的脉冲传递函数$G(z)$和输出的$z$变换$C(z)$；
      解：

      输入$r(t)=1(t)$的$z$变换为：
      $$R(z)=\frac{z}{z-1}$$
      对于系统(a)：
      $$G_1(z)=Z\left[\frac{1}{s}\right]=\frac{z}{z-1}，G_2(z)=Z\left[\frac{a}{s+a}\right]=\frac{az}{z-e^{-aT}}$$
      有：
      $$G(z)=G_1(z)G_2(z)=\frac{a{z}^2}{(z-1)(z-e^{-aT})}$$

      $$C(z)=G(z)R(z)=\frac{a{z}^3}{(z-1{)}^2(z-e^{-aT})}$$

      对于系统(b)：
      $$G_1(s)G_2(s)=\frac{a}{s(s+a)}$$
      有：
      $$G(z)=G_1{G}_2(z)=Z\left[\frac{a}{s(s+a)}\right]=\frac{z(1-e^{-aT})}{(z-1)(z-e^{-aT})}$$

      $$C(z)=G(z)R(z)=\frac{z^2(1-e^{-aT})}{(z-1)(z-e^{-aT})}$$

   3. 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数

      设有零阶保持器的开环离散系统如下图所示：
      图中：$G_h(s)$为零阶保持器传递函数，$G_0(s)$为连续部分传递函数，两个串联环节间无同步采样开关隔离；

      有零阶保持器时，开环系统脉冲传递函数：
      $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=(1-z^{-1})Z\left[\frac{G_0(s)}{s}\right]\text{\hspace{1em}(18)}$$
      实例分析：

      Example6： 设离散系统如下图所示，求系统的脉冲传递函数$G(z)$；
      解：

      依题意可得：
      $$\frac{G_0(s)}{s}=\frac{a}{s^2(s+a)}=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{a}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a}\right)$$
      因此有：
      $$\begin{array}{rl}Z\left[\frac{G_0(s)}{s}\right]& =\frac{Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{1}{a}\left(\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-aT}}\right)\\ & =\frac{\frac{1}{a}\left[(e^{-aT}+aT-1)z+(1-aT{e}^{-aT}-e^{-aT})\right]}{(z-1)(z-e^{-aT})}\end{array}$$
      注：零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点；

4.5 闭环系统脉冲传递函数

一种常见的误差采样闭环离散系统结构图分析：

由上图可知，连续输出信号和误差信号拉氏变换为：
$$C(s)=G(s)E^{\ast }(s)，E(s)=R(s)-H(s)C(s)$$
因此有：
$$E(s)=R(s)-H(s)G(s)E^{\ast }(s)$$
误差采样信号$e^{\ast }(t)$的拉氏变换为：
$$E^{\ast }(s)=R^{\ast }(s)-H{G}^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$
整理可得：
$$E^{\ast }(s)=\frac{R^{\ast }(s)}{1+H{G}^{\ast }(s)}$$
由于：
$$C^{\ast }(s)={\left[G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)\right]}^{\ast }=G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)=\frac{G^{\ast }(s)}{1+H{G}^{\ast }(s)}{R}^{\ast }(s)$$
因此有：
$$E(z)=\frac{1}{1+HG(z)}R(z)，C(z)=\frac{G(z)}{1+HG(z)}R(z)\text{\hspace{1em}(19)}$$
定义闭环离散系统对于输入量的误差脉冲传递函数：
$${\Phi }_e(z)=\frac{E(z)}{R(z)}=\frac{1}{1+HG(z)}\text{\hspace{1em}(20)}$$
定义闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数：
$$\Phi (z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{G(z)}{1+HG(z)}\text{\hspace{1em}(21)}$$
闭环离散系统特征方程：
$$D(z)=1+HG(z)=0\text{\hspace{1em}(22)}$$
注：只要误差信号$e(t)$处没有采样开关，输入采样信号$r^{\ast }(t)$便不存在，此时不能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数，只能求出输出采样信号的$z$变换函数$C(z)$；

实例分析：

Example7： 设闭环离散系统结构图如下图所示，试证其闭环脉冲传递函数为
$$\Phi (z)=\frac{G_1(z)G_2(z)}{1+G_1(z)H{G}_2(z)}$$

证明：

由图可得：
$$C(s)=G_2(s)E_1^{\ast }(s)，E_1(s)=G_1(s)E^{\ast }(s)$$
对$E_1(s)$离散化：
$$E_1^{\ast }(s)=G_1^{\ast }(s)E^{\ast }(s)，C(s)=G_2(s)G_1^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$

$$E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)-H(s)G_2(s)G_1^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$

对$E(s)$离散化：
$$E^{\ast }(s)=R^{\ast }(s)-H{G}_2^{\ast }(s)G_1^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$
即：
$$E^{\ast }(s)=\frac{R^{\ast }(s)}{1+G_1^{\ast }(s)H{G}_2^{\ast }(s)}$$
因此，输出信号的采样拉氏变换：
$$C^{\ast }(s)=G_2^{\ast }(s)G_1^{\ast }(s)E^{\ast }(s)=\frac{G_1^{\ast }(s)G_2^{\ast }(s)R^{\ast }(s)}{1+G_1^{\ast }(s)H{G}_2^{\ast }(s)}$$
对上式进行$z$变换，证得：
$$\Phi (z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{G_1(z)G_2(z)}{1+G_1(z)H{G}_2(z)}$$
Tips：

• 此例子为证明题，需要一步步推导，即理解其推导过程；
• 如果只是求闭环脉冲传递函数或输出脉冲传递函数，可以通过类似于求连续系统传递函数方法快速求解；
• 快速求解方法：先忽略采样开关，求解连续传递函数，然后根据采样开关的位置决定是先$z$变换再进行乘积还是先乘积再进行$z$变换，即传递函数间是否有采样开关情况；

4.6 典型闭环离散系统及输出$z$变换函数

1. 前四种典型离散系统如下图：
   
   上图$C(z)$求解依次为：
   $$C(z)=\frac{G(z)R(z)}{1+GH(z)}\text{\hspace{1em}(23)}$$

   $$C(z)=\frac{R{G}_1(z)G_2(z)}{1+G_{2}H{G}_1(z)}\text{\hspace{1em}(24)}$$

   $$C(z)=\frac{G(z)R(z)}{1+G(z)H(z)}\text{\hspace{1em}(25)}$$

   $$C(z)=\frac{G_1(z)G_2(z)R(z)}{1+G_1(z)G_{2}H(z)}\text{\hspace{1em}(26)}$$

2. 后四种典型离散系统如下图：
   
   上图$C(z)$求解依次为：
   $$C(z)=\frac{R{G}_1(z)G_2(z)G_3(z)}{1+G_2(z)G_1{G}_{3}H(z)}\text{\hspace{1em}(27)}$$

   $$C(z)=\frac{RG(z)}{1+HG(z)}\text{\hspace{1em}(28)}$$

   $$C(z)=\frac{G_1(z)G_2(z)R(z)}{1+G_1(z)G_2(z)H(z)}\text{\hspace{1em}(29)}$$

   $$C(z)=\frac{R(z)G(z)}{1+G(z)H(z)}\text{\hspace{1em}(30)}$$

3. $z$变换法局限性

   1. $z$变换的推导是建立在假定采样信号可以用理想脉冲序列来近似的基础上，每个理想脉冲的面积，等于采样瞬时上的时间函数，这种假定，只有当采样持续时间与系统的最大时间常数相比是很小时才成立；
   2. 输出$z$变换函数$C(z)$，只确定了时间函数$c(t)$在采样瞬时上的数值，不能反映$c(t)$在采样间隔中的信息；因此对于任何$C(z)$，$z$反变换$c(nT)$只能代表$c(t)$在采样瞬时$t=nT(n=0,1,2,\dots ,)$时的数值；
   3. 用$z$变换法分析离散系统时，系统连续部分传递函数$G(s)$的极点数至少要比其零点数多两个，即$G(s)$的脉冲过渡函数$K(t)$在$t=0$时必须没有跳跃；否则，用$z$变换法得到的系统采样输出$c^{\ast }(t)$与实际连续输出 $c(t)$差别较大，甚至完全不符。