03.1线性回归

3.1 线性回归

• 回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。
• 在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。
• 常见例子
  • 预测价格（房屋、股票等）
  • 预测住院时间（针对住院病人等）
  • 预测需求（零售销量等）

3.1.1 线性回归的基本元素

线性回归基于几个简单的假设：

• 首先，假设自变量X和因变量Y之间的关系是线性的，即Y可以表示为X中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；
• 其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

常用术语

• 训练数据集（training data set） 或训练集（training set）
• 样本（sample）
• 标签（label）或目标（target）
• 特征（feature）

3.1.1.1 线性模型

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：
y = wx +b
w : 权重
b ：偏置，常数

寻找最好的模型参数（model parameters）w和b之前， 我们还需要两个东西：

• 一种模型质量的度量方式；
• 一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

3.1.1.2 损失函数

损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。
通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0

回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。

3.1.1.3. 解析解

• 线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）
• 像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。
• 解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

3.1.1.4. 随机梯度下降

梯度下降（gradient descent）这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。
它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

• 梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）
• 小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）：通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本
• 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。
• 以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）
• 调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。
• 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的， 而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。
• 泛化（generalization）：找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失

3.1.1.5. 用模型进行预测

给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）

3.1.2. 矢量化加速

对计算进行矢量化， 从而利用线性代数库
实例验证
我们实例化两个全为1的10000维向量。 在一种方法中，我们将使用Python的for循环遍历向量； 在另一种方法中，我们将依赖对+的调用。

%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l

n = 10000
a = torch.ones(n)
b = torch.ones(n)

# 定义一个计时器
class Timer:  #@save
    """记录多次运行时间"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()

    def start(self):
        """启动计时器"""
        self.tik = time.time()

    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]

    def avg(self):
        """返回平均时间"""
        return sum(self.times) / len(self.times)

    def sum(self):
        """返回时间总和"""
        return sum(self.times)

    def cumsum(self):
        """返回累计时间"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()
        
# for循环，每次执行一位的加法
c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.08695 sec'


# 重载的+运算符来计算按元素的和
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00025 sec'

矢量化代码通常会带来数量级的加速。
减少了出错的可能性

3.1.3. 正态分布与平方损失

对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数

• 正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution）
• 噪声服从正态分布

3.1.4. 从线性回归到深度网络

3.1.4.1. 神经网络图

将线性回归模型描述为一个神经网络。
需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wek3m4Za-1662219434913)(https://zh.d2l.ai/_images/singleneuron.svg)]

对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连， 将这种变换 称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。

3.1.4.2. 生物学

在深度学习中的灵感同样或更多地来生物学、自数学、统计学和计算机科学。

3.1.5. 小结

• 机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。

• 矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。

• 最小化目标函数和执行极大似然估计等价。

• 线性回归模型也是一个简单的神经网络。