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URAL 2032 - Conspiracy Theory and Rebranding【本源勾股数组】

news 来源：原创 2024/5/20 1:29:51

【题意】

给出三角形的三个边长，均是10^7以内的整数，问三角形的三个角的坐标是否能均是整数，输出其中任意一个解。

【题解】

一开始想的是枚举一条边的横坐标，然后通过勾股定理以及算角度求出其他点的坐标，再判断是否符合条件。

亲测TLE

直到知道了本源勾股数组的构造方法。。。

每个本源勾股数组(a,b,c)满足a*a+b*b=c*c，其中a为奇数，b为偶数。。

枚举s,t（1<=t<s，且它们是没有公因数的奇数）

a=st　　b=(s*s-t*t)/2　　c=(s*s+t*t)/2

因为最大数c=(s*s+t*t)/2 所以最多枚举到sqrt(2*c)即可。

假设三角形的三个点分别为p,q和r，

我们先固定一个点为p(0,0)，另外一个点q与它的距离是x，还有一个点r与它的距离是y。那么q的距离与r的距离一定是z

我们枚举勾股数组，如果勾股数组(a1,b1,c1)的c1，也就是最大的那个数，等于x，那么x的坐标为(a1,b1)【当然也可以是(a1,-b1),(-a1,b1),(-a1,-b1)，均需要枚举，下同】

然后枚举c等于y的勾股数组，(a2,b2,c2)，那么r点坐标为(a2,b2) 【可以事先把这些坐标预处理出来，放入vector中】

接下来判断两坐标是否相距为z即可。

注意通过这种方法求出来的勾股数组的a是奇数，也就是说它们的倍数 (i*a,i*b,i*c)，i是一个正整数，并不会被求出来，我们要求的是i*c==x，那么只要满足x mod c=0我们就可以把勾股数组乘以x/c，加入备选选项中。

注意(0,x) (0,-x) (x,0) (-x,0)以及(0,y) (0,-y) (y,0) (-y,0) 不会在枚举本源勾股数组中出现，所以需要自己手动判断。

#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-9
#define FOR(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define MAXN 1005
#define MAXM 40005
#define INF 0x3fffffff
#define PB push_back
#define MP make_pair
#define X first
#define Y second
#define lc (k<<1)
#define rc ((k<<1)1)
using namespace std;
typedef long long LL;
LL i,j,k,n,m,x,y,T,ans,big,cas,num,len;
bool flag;
LL z;
LL mx,sum,a,b,c;
vector <pair<LL,LL> > xx,yy;

LL gcd(LL x, LL y)
{
    return y ? gcd(y, x % y) : x;
}

int main()
{
    scanf("%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&z);
    if (x>y) swap(x,y);
    if (y>z) swap(y,z);
    if (x>y) swap(x,y);
    mx=(LL)(sqrt(2*z)+eps);
    
    for (i=1;i<=mx;i+=2)//枚举本源勾股数组
    {
        for (j=i+2;j<=mx;j+=2)
        {
            if (gcd(i,j)>1) continue;
            a=i*j;
            b=(j*j-i*i)/2;
            c=(j*j+i*i)/2;
            if (x%c==0)
            {
                xx.PB(MP(a*x/c,b*x/c));
                xx.PB(MP(a*x/c,-b*x/c));
                xx.PB(MP(-a*x/c,b*x/c));
                xx.PB(MP(-a*x/c,-b*x/c));
                xx.PB(MP(b*x/c,a*x/c));
                xx.PB(MP(b*x/c,-a*x/c));
                xx.PB(MP(-b*x/c,a*x/c));
                xx.PB(MP(-b*x/c,-a*x/c));
            }
            if (y%c==0) 
            {
                yy.PB(MP(a*y/c,b*y/c));
                yy.PB(MP(a*y/c,-b*y/c));
                yy.PB(MP(-a*y/c,b*y/c));
                yy.PB(MP(-a*y/c,-b*y/c));
                yy.PB(MP(b*y/c,a*y/c));
                yy.PB(MP(b*y/c,-a*y/c));
                yy.PB(MP(-b*y/c,a*y/c));
                yy.PB(MP(-b*y/c,-a*y/c));
            }
        }
    }
    xx.PB(MP(0,x));xx.PB(MP(x,0));xx.PB(MP(0,-x));xx.PB(MP(-x,0));
    yy.PB(MP(0,y));yy.PB(MP(y,0));yy.PB(MP(0,-y));yy.PB(MP(-y,0));
    
    for (i=0;i<xx.size();i++)
    {
        for (j=0;j<yy.size();j++)
        {
            if ((xx[i].X-yy[j].X)*(xx[i].X-yy[j].X)+(xx[i].Y-yy[j].Y)*(xx[i].Y-yy[j].Y)==z*z)
            {
                printf("0 0\n%I64d %I64d\n%I64d %I64d\n",xx[i].X,xx[i].Y,yy[j].X,yy[j].Y);
                return 0;
            }
        }
    }
    printf("-1\n");
    return 0;
}