拓扑序计数+树形DP

题目

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/38630/F

思路

每个公司是一棵树，有n家公司，可以将这n家公司连到一个虚拟的根上。总共的排队方案就等于这个棵的排队方案树。为了满足排队是顺序的，所以我们要求的就是这棵树的拓扑序个数。用树形DP来求解。

f[u]: 以u为根的子树的拓扑序数

sz[u]: 以u为根的子树的大小（节点的数量）

如何计算一个棵的拓扑序数？

我们先来看只有两个子树的情况：

如上图所示，1号节点一定是第1为，那么剩下还有3位置，有三种可能：

• 1 2 3 4
• 1 3 2 4
• 1 2 4 3

这就用到了概率论的知识，有三个盒子，从中要选2个盒子给2、4放置，并且是按照顺序的2 4放置，因为是拓扑序，所以每个子树的相对顺序是一定的，所以最后计算的结果就是：
$$f[u]=f[v1]\cdot f[v2]\cdot C(sz[v1]+sz[v2],sz[v1])$$
当树为二叉树时，将两个子树v1,v2进行合并：即先把各子树的方案数乘起来算出总方案，然后考虑各子树元素的相对排列顺序，即在总的节点个数中选sz[v1]排sz[v1]个位置，剩下的顺序就固定了，保证每颗子树的相对拓扑序不变。

如何计算组合数

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
typedef priority_queue<int, vector<int>, less<int>> Q;
#define x first
#define y second
#define endl '\n'
#define ppb pop_back
#define pb push_back
#define pf push_front
#define YES cout << "YES" << endl
#define Yes cout << "Yes" << endl
#define yes cout << "yes" << endl
#define NO cout << "NO" << endl
#define No cout << "No" << endl
#define no cout << "no" << endl
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define rall(x) x.rbegin(), x.rend()
#define mset(x, a) memset(x, a, sizeof(x))
#define rep(i, l, r) for (LL i = l; i <= (r); ++i)
#define per(i, r, l) for (LL i = r; i >= (l); --i)
const int N = 1e5 + 10, inf = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;
vector<int> v[N];
int n;
int sz[N];
ll fac[N];
ll inv[N];
ll f[N];
ll qsm(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
void dfs(int u)
{
    f[u] = 1;
    sz[u] = 1;
    for (int i = 0; i < v[u].size(); i++)
    {
        int j = v[u][i];
        dfs(j);
        sz[u] += sz[j];
        f[u] = (f[u] * f[j]) % mod * inv[sz[j]] % mod;
    }
    f[u] = f[u] * fac[sz[u] - 1] % mod;
}
void solve()
{
    fac[0] = 1;
    inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++)
    {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
        inv[i] = inv[i - 1] * qsm(i, mod - 2) % mod;
    }
    cin >> n;
    ll ans = 1;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int c;
        cin >> c;
        v[0].pb(cnt + 1);
        for (int j = 2; j <= c; j++)
        {
            int u;
            cin >> u;
            v[cnt + u].pb(cnt + j);
        }
        cnt += c;
    }
    dfs(0);
    cout << f[0];
}
signed main()
{
#ifdef Xin
    freopen("in.in", "r", stdin);
    freopen("out.out", "w", stdout);
#endif
    int T = 1;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

感谢大佬的文章：

• http://wyqz.top/p/2852940489.html
• https://www.acwing.com/solution/content/16482/