一、理论基础

1、阿奎拉鹰优化算法(AO)

请参考这里。

2、哈里斯鹰优化算法(HHO)

请参考这里。

3、非线性逃逸能量参数

在原始的HHO算法中，逃逸能量$E$被用来控制从探索到开发阶段的过渡。参数$E$从2线性降为0，即迭代后半部分只进行局部搜索，容易陷入局部最优。为了克服算法的这一缺点，采用另一种方法更新逃逸能量$E$：$$E=E_1\times (2\times \text{rand}-1)\text{\hspace{1em}(1)}$$$$E_1=2\times {\left(1-{\left(\frac{t}{T}\right)}^{1/3}\right)}^{1/3}\text{\hspace{1em}(2)}$$其中$t$和$T$分别为当前迭代次数和最大迭代次数。从图1(a)可以看出，$E_1$在迭代早期快速下降，这控制了算法的全局搜索能力，在迭代中期变化缓慢。$E$还平衡了全局和局部搜索性能，并在迭代的后期迅速减少，以加强局部搜索。$E$可以在整个迭代过程中进行全局搜索和局部搜索。早期主要进行全局搜索，后期主要进行局部搜索，保留全局搜索的可能性，如图1(b)所示。

4、随机反向学习(ROBL)

反向学习(Opposition‐based learning, OBL)是一种强大的优化工具。OBL的主要思想是同时考虑估计值和相对估计值的适应度，以获得较好的候选解。OBL概念已成功应用于多种元启发式算法，以提高收敛速度。与原始的OBL不同，本文采用了一种改进的OBL策略，称为随机反向学习(Random Opposition‐based learning, ROBL)，其定义如下：$${\hat{x}}_j=l_j+u_j-\text{rand}\times x_j,j=1,2,\cdots ,n\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，${\hat{x}}_j$表示随机反向学习的解，$l_j$和$u_j$是问题在第$j$维的下限和上限，$\text{rand}$是$(0,1)$内的随机数。由式(3)计算的反向解比原来的OBL更具随机性，可以有效地帮助种群跳出局部最优解。

5、提出的IHAOHHO算法

将AO的全局探索阶段和HHO的局部开发阶段结合起来，充分发挥这两种算法的优势，以保留算法的全局搜索能力、较快的收敛速度和跳出局部最优解的能力。同时，采用非线性逃逸能量机制控制算法从探索到开发的过渡，在后续迭代中保留全局探索的可能。在开发阶段增加了ROBL策略，以进一步提高算法跳出局部最优的能力。这些策略提高了混合算法的收敛速度和精度，有效地提高了算法的整体优化性能。这种改进的混合阿奎拉鹰和哈里斯鹰优化算法命名为IHAOHHO算法，图2给出了其执行流程图。

二、仿真实验与结果分析

将IHAOHHO与AO、HHO、SMA、SSA、WOA、GWO和PSO进行对比，以文献[1]中表1~表3的F1、F5(单峰函数/30维)、F10、F12(多峰函数/30维)、F19、F20(固定维度多峰函数/3维、6维)为例，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
IHAOHHO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
AO：最差值: 1.5464e-103, 最优值: 7.7114e-158, 平均值: 5.7907e-105, 标准差: 2.8327e-104, 秩和检验: 1.2118e-12
HHO：最差值: 2.8334e-95, 最优值: 8.5606e-113, 平均值: 1.3968e-96, 标准差: 5.5001e-96, 秩和检验: 1.2118e-12
SMA：最差值: 4.4386e-277, 最优值: 0, 平均值: 1.4795e-278, 标准差: 0, 秩和检验: 0.041926
SSA：最差值: 7.7365e-07, 最优值: 3.5155e-08, 平均值: 1.5836e-07, 标准差: 1.7126e-07, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 4.2339e-71, 最优值: 7.0601e-84, 平均值: 1.4479e-72, 标准差: 7.7245e-72, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 6.3608e-27, 最优值: 1.1512e-29, 平均值: 1.1981e-27, 标准差: 1.5482e-27, 秩和检验: 1.2118e-12
PSO：最差值: 2141.4998, 最优值: 406.5552, 平均值: 1086.5493, 标准差: 466.2114, 秩和检验: 1.2118e-12
函数：F5
IHAOHHO：最差值: 0.023396, 最优值: 3.7739e-07, 平均值: 0.0045288, 标准差: 0.0062981, 秩和检验: 1
AO：最差值: 0.042826, 最优值: 0.0001613, 平均值: 0.0034237, 标准差: 0.0078813, 秩和检验: 0.85338
HHO：最差值: 0.21284, 最优值: 4.0765e-05, 平均值: 0.016134, 标准差: 0.039453, 秩和检验: 0.045146
SMA：最差值: 28.2249, 最优值: 0.016757, 平均值: 7.3684, 标准差: 10.9982, 秩和检验: 4.0772e-11
SSA：最差值: 2098.3181, 最优值: 23.5842, 平均值: 238.0004, 标准差: 416.787, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 28.7928, 最优值: 26.8614, 平均值: 28.0365, 标准差: 0.51291, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 27.9537, 最优值: 25.7388, 平均值: 26.9523, 标准差: 0.629, 秩和检验: 3.0199e-11
PSO：最差值: 376852.1431, 最优值: 22424.0898, 平均值: 170589.4357, 标准差: 106614.7386, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F10
IHAOHHO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
AO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
HHO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
SMA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
SSA：最差值: 5.0919, 最优值: 1.3404, 平均值: 2.843, 标准差: 0.85924, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 7.9936e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 3.8488e-15, 标准差: 2.3012e-15, 秩和检验: 2.8987e-08
GWO：最差值: 1.6076e-13, 最优值: 7.5495e-14, 平均值: 1.0013e-13, 标准差: 1.661e-14, 秩和检验: 1.0821e-12
PSO：最差值: 11.7214, 最优值: 7.1844, 平均值: 9.5733, 标准差: 1.0487, 秩和检验: 1.2118e-12
函数：F12
IHAOHHO：最差值: 2.2159e-05, 最优值: 3.5571e-10, 平均值: 1.52e-06, 标准差: 4.0737e-06, 秩和检验: 1
AO：最差值: 3.415e-05, 最优值: 3.0895e-08, 平均值: 3.1111e-06, 标准差: 6.407e-06, 秩和检验: 0.015638
HHO：最差值: 1.9342e-05, 最优值: 1.3666e-09, 平均值: 6.4205e-06, 标准差: 6.678e-06, 秩和检验: 0.0014423
SMA：最差值: 0.017543, 最优值: 1.4468e-06, 平均值: 0.0037918, 标准差: 0.0047052, 秩和检验: 4.9752e-11
SSA：最差值: 14.9349, 最优值: 2.3843, 平均值: 7.5696, 标准差: 3.0671, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 0.050616, 最优值: 0.0024202, 平均值: 0.019861, 标准差: 0.010739, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 0.10539, 最优值: 0.013306, 平均值: 0.040367, 标准差: 0.020994, 秩和检验: 3.0199e-11
PSO：最差值: 69.7202, 最优值: 5.3537, 平均值: 22.8354, 标准差: 14.4969, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F19
IHAOHHO：最差值: -3.8121, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.8561, 标准差: 0.01456, 秩和检验: 1
AO：最差值: -3.0882, 最优值: -3.8627, 平均值: -3.729, 标准差: 0.26, 秩和检验: 1.0188e-05
HHO：最差值: -3.0898, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.837, 标准差: 0.14113, 秩和检验: 0.0094683
SMA：最差值: -3.8628, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 1.535e-07, 秩和检验: 3.3384e-11
SSA：最差值: -3.8628, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 1.3533e-11, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: -3.7898, 最优值: -3.8627, 平均值: -3.8545, 标准差: 0.014258, 秩和检验: 0.00095207
GWO：最差值: -3.8549, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.8617, 标准差: 0.0023792, 秩和检验: 0.31119
PSO：最差值: -3.0898, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.837, 标准差: 0.14113, 秩和检验: 1.1949e-10
函数：F20
IHAOHHO：最差值: -3.1428, 最优值: -3.3219, 平均值: -3.2819, 标准差: 0.062544, 秩和检验: 1
AO：最差值: -3.0484, 最优值: -3.3205, 平均值: -3.2542, 标准差: 0.07708, 秩和检验: 0.00035638
HHO：最差值: -3.1926, 最优值: -3.3219, 平均值: -3.2933, 标准差: 0.052543, 秩和检验: 0.0044272
SMA：最差值: -3.1989, 最优值: -3.322, 平均值: -3.2423, 标准差: 0.057313, 秩和检验: 0.72827
SSA：最差值: -3.1476, 最优值: -3.322, 平均值: -3.237, 标准差: 0.066811, 秩和检验: 0.53951
WOA：最差值: -3.0864, 最优值: -3.3216, 平均值: -3.2495, 标准差: 0.088724, 秩和检验: 0.00012477
GWO：最差值: -3.0789, 最优值: -3.322, 平均值: -3.27, 标准差: 0.079539, 秩和检验: 0.0036709
PSO：最差值: -3.1996, 最优值: -3.322, 平均值: -3.2902, 标准差: 0.053678, 秩和检验: 3.5709e-05

实验结果表明：IHAOHHO算法具有很强的优越性。

三、参考文献

[1] Wang S, Jia H, Abualigah L, et al. An Improved Hybrid Aquila Optimizer and Harris Hawks Algorithm for Solving Industrial Engineering Optimization Problems[J]. Processes. 2021, 9(9): 1551.