新授粉方式的花授粉算法

1.花授粉算法

基础花授粉算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/108346554

2. 改进花授粉算法

2.1 自适应调整的转换概率 p

参数 p 对FPA性能的影响较大，且其取值依赖于求解问题。同时，依据FPA算法的仿生原理可知，若算法中的参数 p 在优化过程中取固定的值，如果 p 取值较大，算法侧重于全局搜索，导致算法收敛速度慢，如果 p 取值较小，算法容易陷入局部极值，甚至找不到最优值，从而影响算法的全局优化能力。针对该问题，本文对 p 采用自适应调整策略，其计算公式为：
$$\begin{array}{rl}{p}_i(t)=& p_{\min }+\left(p_{\max }-p_{\min }\right)\times \left(0.5\times \left(1-\frac{t}{N_{-}iter}\right)+0.5\times \frac{f_{\max ,t}-f_{i,t}}{f_{\max ,t}-f_{\min ,t}}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中, 转换概率 $p$ 的取值范围为 $p\in [0.2,0.9],f_{\text{min, }t}$ 和 $f_{\max ,t}$ 分别为第 $t$ 代种群中最小适应度值和最大适应度 值, $f_{i,t}$ 为当前个体的适应度值, $N_{-}$iter 为最大迭代次 数, $t$ 为当前迭代次数, $p_{\min }$ 是参数 $p$ 的最小值, $p_{\max }$ 是参数 $p$ 的最大值。
从公式(1)可知:
(1) $p$ 的取值是动态自适应变化的, 且其取值同时 考虑了迭代次数和种群个体的适应度值的作用。
(2) 在进化初期, $p$ 的值较大, 算法侧重于全局搜 索, 扩大算法搜索范围, 使种群中的个体更靠近最优解, 随着演化的深入, $p$ 的值越来越小, 使算法倾向局部精 细化搜索, 有利于算法找到最优值。

2. 2 带惯性权重的新全局授粉方式

依据 FPA 算法的仿生原理，FPA 算法在全局授粉时，利用Lévy飞行和最优个体策略对种群中的个体同时施加影响，通过最优个体引导种群中的其他个体进行探索，有利于提高算法的性能，但在进化后期，由于最优个体对其他个体的吸引，使得种群个体具有强烈的趋同性，即减弱了种群个体的差异性。同时，智能算法中通常是利用最优个体策略提高算法的局部搜索能力 [22] ，采用Lévy飞行机制改善算法的全局搜索能力，而将两种策略融入到一起，势必引起相互抵触，影响算法的全局优化能力。另外，在FPA算法演化后期，由于种群个体的多样性快速丧失而使得FPA易陷入局部最优，影响了算法全局搜索能力。为了解决上述存在的问题，通过融入带惯性权重的思想对FPA算法的全局授粉方式进行改进，具体如下:

if rand $⩽\theta$
$x_i^{t+1}=x_i^l+\gamma L(\lambda )\left(x_{i_1}^l-x_{i_2}^l+x_{i_3}^l-x_{i_4}^l\right)(2)$
else

$x_i^{t+1}=\omega x_i^t+\gamma L(\lambda )\left(x_{i_1}^t-x_{i_2}^t+x_{i_3}^t-x_{i_4}^t\right)(3)$

endif
其中, rand $\in [0,1]$ 是服从均匀分布的随机数; $i,i_1,i_2$, $i_3,i_4$ 分别是从当前种群中随机选取的 5 个不同个体的 下标; $x_i^{t+1}、x_i^t$ 分别是第 $t+1$ 代、第 $t$ 代的解; $\gamma$ 是控制 步长的缩放因子; $L$ 是对应于花粉传播者的 Lévy 飞行 随机搜索步长; $\lambda =3/2。\theta$ 和 $\omega$ 的计算公式分别为公 式(4)和公式(5):
$$\begin{array}{rlr}& \theta =0.5\times \left(1-\frac{t}{N_{-}i\text{ ter }}\right)+0.5\times \frac{f_{\max ,t}-f_{i,t}}{f_{\max ,t}-f_{\min ,t}}& (4)\\ & \omega =0.01\times \left(1-\exp \left(-\frac{t}{N_{-}\text{iter }}\right)\right)& (5)\end{array}$$
其中, $f_{\max ,t}$ 为第 $t$ 代种群中最大适应度值, $f_{i,t}$ 为当前 个体的适应度值, $N_{-}$iter 为最大迭代次数, $t$ 为当前迭 代次数。
从 NMFPA算法的设计思想可知, 算法的演化初期, 种群个体的差异性比较大, 算法的探测能力较强, 无需 对个体进行大幅度扰动, 而随着进化的不断深入, 个体 的多样性越来越小, 算法的勘探能力被削弱了, 影响了 算法的优化性能。依据上述公式 (5) 可知, 在算法的进 化初期, 变量 $t$ 的值较小, 则惯性权重 $\omega$ 的取值较小, 对 种群的扰动性较弱; 当算法进入演化后期, 变量 $t$ 的值 越来越大, 惯性权重 $\omega$ 的值越来越大, 对种群的扰动性 较强, 有利于增加种群的多样性, 以增强算法的全局优 化能力。公式(5) 中的系数 $0.01$, 是经过大量实验获得 的经验值。
带惯性权重的新全局授粉方式, 在保留 Lévy 飞行 机制的同时利用了两组随机个体的差异矢量, 增加了 算法的扰动性和算法在多维空间的探索能力。在进化 后期, 全局授粉部分采用带惯性权重的搜索机制, 增加 种群个体的多样性, 有效避免算法早熟, 提高算法优化 性能。

2.3 融入精英与信息共享机制的新局部授粉方式

从花授粉算法的局部搜索方程可知:
（1）产生的新个体是在个体的原状态基础上加上一 个扰动项,该扰动项是由一个均匀分布的随机数和两个 随机个体差分矢量的乘积。虽然随机产生的子代能够 较好地保持算法种群个体之间的差异性, 使算法能够维 持良好的持续优化能力,但也降低了算法的收敛速度。
(2)搜索策略没有充分利用种群信息, 使算法在进 化过程中种群个体之间的差异性过早地丢失, 不能较好 地解决“早熟”问题,影响了算法解的质量。
针对上述存在的问题,采用精英策略和信息共享机 制对标准 FPA算法的局部授粉方式进行改进, 新的变异 策略如下:
(1) $\mathrm{FPA}/\mathrm{rand}/1$ 变异策略:
$$v_{i,t}=x_{r_1}+\delta \times \left(x_{r_2,t}-x_{r_3,t}\right)\text{\hspace{1em}(6)}$$
(2) $\mathrm{FPA}/\mathrm{best}/2$ 变异策略:
$$v_{i,t}=x_{\text{best },t}+\alpha \times \left(x_{r_1,t}-x_{r_2,t}\right)+\beta \times \left(x_{r_3,t}-x_{r_4,t}\right)\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中, $i\in (1,2,\cdots ,NP$ (种群数)) 为当前个体的下标, $r_1$, $r_2,r_3$ 和 $r_4$ 为 4 个不同的随机个体的下标, $x_{\text{best },t}$ 为第 $t$ 代种群中最优个体。 $\delta ,\alpha ,\beta$ 是均值为 $0.5$ 、标准偏差为 $0.1$ 的高斯分布, 通过缩放因子 $\delta 、\alpha$ 和 $\beta$ 对算法的进化 速度进行调节。
在新的局部搜索方法中, “FPA/rand/1”变异策略增 加了算法种群个体的差异性, 提高了算法优化能力, 但 算法的收敛速度在一定程度上降低了; “FPA/best/2” 变 异机制通过最优个体引导种群中其他个体的搜索方向,最优个体的有用信息有利于开发最优个体的搜索范围, 提高算法的寻优效率, 使其收敛速度与开发能力获得提 升,但也容易导致算法陷入局部最优。因此,为了使其 取长补短,更好提升算法的收敛能力,本文通过公式 (4) 的非线性递减概率规则来融合这两种变异策略。依据 $\theta$ 的表达式可知, 在算法的进化初期, 算法偏重于全局 搜索; 在进化后期,侧重于局部搜索, 有利于提高算法的 寻优性能。
另外,在FPA算法中个体之间缺乏信自交流, 使其 容易陷入局部极值, 本文把信息共享机制融入到FPA 的 局部搜索中, 即利用公式 (8)来进行个体间的学习 ${}^{[23]}$, 从 而达到改善解的质量。
$$x_{\text{new }}^i=\{\begin{array}{l}{x}_{\text{old }}^i+s\times \left(x^i-x^j\right),f\left(x^j\right)<f\left(x^i\right)\\ x_{\text{old }}^i+s\times \left(x^j-x^i\right),f\left(x^i\right)<f\left(x^j\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中, $f\left(x^i\right)$ 和 $f\left(x^j\right)$ 分别表示个体 $x^i$ 和 $x^j$ 的目标函数 适应度值, $s=$ rand 为学习步长, $x_{\text{new }}^i,x_{\text{old }}^i$ 分别是个体 $i$ 的最新状态和原始状态。

基于上述思想, 构建 FPA具有信息共享机制的新局 部授粉方式:
通过公式 (8)实现个体之间的信息交流;
if rand $⩾\theta$ then
依据公式 (7)执行变异, 产生新的个体;
else
依据公式 (6)执行变异, 产生新的个体;
endif
其中 $\theta$ 的计算公式为公式(4)。

2.4 基于变异的改进策略

从 FPA 的构成可知, FPA 是依据参数 $p$ 的值随机地 选取全局搜索或者局部搜索, 这容易导致产生的新个体 偏离全局最优解的方向, 影响 FPA 的收敛能力。为了解 决该问题, 本文在进入下一次迭代之前, 利用基于高斯 变异的最优个体对种群中的其他个体的进化方向进行 引导, 以达到提高算法的收敛性能。但是, 由于在上述 多个位置运用了最优个体策略, 增加了 FPA算法在收敛 后期容易陷入局部极值风险, 因此在个体进入下次演化 之前, 对个体进行非均匀变异, 因为非均匀变异是一种 能有效避免算法早熟的算子 ${}^{[24]}$ 。改进策略定义如下:
（1）基于高斯变异的最优个体改进策略:
$$\begin{array}{rlr}& x_i^{\text{new }}=x_{\text{best }}+k\times N(0,1)x_{\text{best }}& (9)\\ & k=1-t/N_{-}\text{iter }& (10)\end{array}$$
其中, $x_{\text{best }}$ 为当前种群中最优个体; $x_i^{\text{new }}$ 是第 $i$ 个个体 的新状态; $t$ 为当前迭代次数, $N_{-}i$ ter 为最大迭代次数; $k\in (1,0]$ 为递减变量, $N(0,1)$ 为高斯变异随机向量。
（2）非均匀变异。变异是种群个体能够持续进化的 关键操作,而非均匀变异是对原有个体进行不同幅度的变异而产生新的个体。定义如下:
$$\begin{array}{rlr}& x_i^{\text{new }}=\{\begin{array}{l}{x}_i^{\text{old }}+\Delta \left(t,Ub-x_i^{\text{old }}\right),r<0.5\\ x_i^{\text{old }}-\Delta \left(t,x_i^{\text{old }}-Lb\right),r⩾0.5\end{array}& (11)\\ & \Delta (t,y)=y\left(1-r^{{\left(1-t/N_{-}\text{iter }\right)}^b}\right)& (12)\end{array}$$
其中, $t$ 是当前迭代次数, $Ub$ 和 $Lb$ 是解的上界和下界, $r$ 是 $[0,1]$ 之间的随机数, $b$ 是决定非均匀度的系统参 数, $N_{-}i$ ter 为最大迭代次数, $x_i^{\text{old }}$ 是第 $i$ 个个体的原始 状态, $x_i^{\text{new }}$ 是第 $i$ 个个体的新状态。

3.实验结果

4.参考文献

[1]段艳明,肖辉辉,林芳.新授粉方式的花授粉算法[J].计算机工程与应用,2018,54(23):94-108.

5.Matlab代码

6.Python代码