3) 时频分析与傅立叶变换
| Table of Contents |
| - 时频分析与傅立叶变换
- 1.标准正交基： - 标准正交基条件： - 2.傅立叶变换 - 傅立叶变换定义 - 3.傅立叶级数 - 信号的时域、频域分布图： - 3.1 连续周期信号 - 3.1.1 连续周期函数 - 傅立叶级数（时间连续的周期函数） - 数学上表达 - 傅立叶变换的理解： - 3.1.2 连续非周期函数 - 非周期函数可以理解成周期不穷大的周期函数 - 3.2 离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete Time F ourier Transform） - 3.2.1 离散非周期信号 - 角频率（模拟频率） - 归一化角频率（采样频率） - 3.2.2离散傅立叶变换 - 公式与傅立叶变换差别： - 离散傅立叶变换的矩阵形式： - 4. 傅立叶变换的四种形式： - 5.离散傅立叶变换的几个问题L： - 5.1 频谱泄漏： - 定义： - 原因： - 5.2 栅栏效应： - 定义： - 减小栅栏效应： - 5.3 语音信号DFT的共轭对称性： |
目录
时频分析与傅立叶变换
1.标准正交基：
标准正交基条件：
2.傅立叶变换
傅立叶变换定义
3.傅立叶级数
信号的时域、频域分布图：
3.1 连续周期信号
3.2 离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete Time F ourier Transform）
4. 傅立叶变换的四种形式：
5.离散傅立叶变换的几个问题L：
5.1 频谱泄漏：
5.2 栅栏效应：
5.3 语音信号DFT的共轭对称性：
时频分析与傅立叶变换
平面直角坐标系就是较简单的变换
1.标准正交基：
标准正交基条件：
2.傅立叶变换
傅立叶变换定义
（what）傅立叶变换本质上也是一组标准正交变换。会把时域信号同样会基于一组标准正交积下的投影的线性组合的表达。 （how）只是傅立叶变换的标准正交基是由正余弦函数组成的。 同样满足上述图片中标准正交基的条件。 内积是以积分的形式表达。
3.傅立叶级数
对于任意周期函数都可以用一组正余弦函数模拟出来。比如方波。
信号的时域、频域分布图：
如上图，从频域维度看：
1.当前时域信号是由哪些频域分量的正余弦组成的。
2.每个频域分量的幅值是多少。
3.每个频谱分量的相位是多少。
3.1 连续周期信号
3.1.1 连续周期函数
傅立叶级数（时间连续的周期函数）
数学上表达
每一项对应于的每个频率分量的系数都可以用 原始周期信号x(t)和一组标准正交基函数，这里用幅指数表示，做内积的形式提出来。 在一个周期内做积分就是在傅立叶级数上求内积。
以内积的方式理解，通过积分形式，把对应于某个频率分量所占的比重也就是它的系数抽取出来。
例子，如图给定 x（t）周期信号，周期是T0，跟标准正交基内积后可能产生两种结果：
1.如果有k欧米伽0分量 ，则会计算出x（t）中究竟有多少k欧米伽的比重提取出来。
2.如果无k欧米伽相关分量，则积分结果是0。
实质上是在x（t）中找是否有k欧米伽 的分量，提取出k欧米伽在x（t）中的比重。
傅立叶变换的理解：
理解傅立叶变换的时候，不要把它当作直接的积分，可以理解成通过内积的方式去抽取某个某个特定频率分量系数（投影后乘积）。
3.1.2 连续非周期函数
非周期函数可以理解成周期不穷大的周期函数
不存在k了，因为不存在周期。
同样通过做内积的形式，提取出x（t）中 跟欧米伽相对应的成分。
由于时域非周期信号，因此频域上连续谱。
3.2 离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete Time F ourier Transform）
3.2.1 离散非周期信号
时域与频域关系（是否离散与是否周期）
在时域上是离散的那么在频域上一定具有周期性。
由于是时间离散非周期信号，频率在2派周期内是连续。
由于上离散的，不用取积分了，改成求和。 x（t）变x（n）。但同样是x（n）和标准正交基的内积。
通过内积求出x（n）中跟欧米伽相关的频率分量点。
角频率（模拟频率）
物理意义表示相邻两个采样点之间的弧度变化。
频率是F， 模拟信号的角频率，如下图，因为角频率大欧米伽=2派F，如果一秒2个周期那么F=2。 一圈是2派，所有角频率是 2派F。
归一化角频率（采样频率）
如下图，1s内模拟频率是2，采样频率最小是4才能刻画出这个波形。 小欧米伽 = 大欧米伽 / Fs
模拟频率代表的是真正的物理频率。 研究模拟信号通常用大欧米伽，但是由于离散信号是从模拟信号采样而来，此时更关注采样的归一化的数字角频率 小欧米伽。 为模拟信号的角频率（大欧米伽） / 采样频率，其中模拟信号的频率最大只能=采样频率/2。
如下图，1s内模拟频率是2，采样频率最小是4才能刻画出这个波形。
由于小欧米伽是周期函数，在其他周期和【-派，派】信号是一致的。 所以无论是研究离散信号还是数字信号，都是在一个周期2派内。
如图，所以当是离散非周期信号时，只在一个2派 周期内研究它的 连续性。
DTFT与傅立叶变换是正反变换关系。
3.2.2离散傅立叶变换
离散傅立叶变换由于时域离散所以隐含周期性
公式与傅立叶变换差别：
离散非周期信号对比，非周期信号是在【-派，派】之间积分求内积。 而离散周期信号则是N个点， 2派/N，即是在【-2派，2派】频谱之间N点取样。
离散傅立叶变换的矩阵形式：
F^H是转置矩阵
4. 傅立叶变换的四种形式：
理解，默写
1.看傅立叶变换的时候带有抽取的思想
2.在一个域上只要是离散的一定会导致再另一个域上的周期性。
5.离散傅立叶变换的几个问题L：
5.1 频谱泄漏：
定义：
由于信号截断对原始信号造成的频谱扩散现象。
原因：
信号的截断相当于在原始信号x（n）上与一个窗函数进行w（n）相乘，在频域中相当于各自频谱的卷积过程。卷积的结果造成原始信号频谱的扩展（“变宽”“拖尾”）。这就是频谱泄漏。
5.2 栅栏效应：
定义：
因为DFT计算频谱只限制在离散点上的频谱，也就是F0的整数倍处的谱，而无法看到连续频谱函数，就像通过“栅栏”看图像。称之为栅栏效应。
减小栅栏效应：
减小栅栏效应的方法就是增加频域抽样点数，好像人眼距离栅栏更远一点。“时域补零相当于频域插值”，也就是说，补零操作增加了频域的插值点数，让频域曲线看起来更加光滑，也就是增加了FFT频率分辨率
5.3 语音信号DFT的共轭对称性：
实部是左右共轭对称，虚部是互为相反数的。
ref：
数字频率和角频率 - 百度文库