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01背包-一维dp数组学习笔记

news 来源：原创 2024/4/29 15:54:50

01背包-一维dp数组学习笔记

https://blog.csdn.net/qq_44653420/article/details/126973071?spm=1001.2014.3001.5501

一、一维dp数组概述

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

如果把dp[i - 1]层拷贝到dp[i]上，表达式变成：dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][j - wight[i]] + value[i]);

如果使用一维数组dpj:表示上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层

二、动态规划实现

确定dp数组的含义

在一维dp数组中，dp[j]表示容量为j的背包所容纳物品的最大价值

确定一维dp数组的递推公式

dp[j]此时由两种状态推导出来：不放物品i,放物品i

对于不放物品i,那么此时的dp[j]直接就是上一层的dp[j]拷贝而来，如果存放物品i,那么此时的dp[j]表示为dp[j - weight[i]] + value[i],意思就是容量为j -物品i重量的背包中的价值加上物品i的价值

dp[j] = max(dp[j],dp[j - weight[i]] + value)

初始化一维数组

dp[j]表示的是容量为j的背包所具有的最大价值，那么dp[0] = 0,对于非0下标的dp数组如何初始化：每次dp[i]缺的是最大的价值，所以每一个dp[i]初始化成所有物品的最小价值，由于每一个物品的价值都是大于0的，所以干脆全部初始化为0
确定一维dp数组的遍历顺序
```
 for(int i = 0; i < weight.size(); i++)
 {
     for(int j = bagWeight; j >= weight[i];j--)
     {
         // 先遍历物品 在遍历背包  对于每一种物品 放进不同的背包
         dp[j] = max(dp[j],dp[j - weight[i]] + value[i]);
     }
 }
```
二维dp数组遍历背包的时候，背包的容量是从小到大开始遍历的，但是一维dp数组遍历背包的时候，背包容量是从大到小遍历的。

倒序遍历的目的是为了物品i只被放入背包一次.

另外，一维dp数组必须先遍历物品，在遍历背包，每一个dp[j]就只会放入一个物品，也就是背包中只放入一个物品。
代码实现


void func()
{
    vector<int> weight = {1,3,4};
    vector<int> value = {15,20,30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化dp数组
    vector<int>  dp(bagWeight + 1,0);// 全部初始化0

    for(int i = 0; i < weight.size(); i++)
    {
        // 先遍历物品

        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--)
        {
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }

    cout<<dp[bagWeight]<<endl;
}