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「数据结构详解·八」带权并查集扩展域并查集

news 来源：原创 2024/5/4 10:09:57

「数据结构详解·一」树的初步
「数据结构详解·二」二叉树的初步
「数据结构详解·三」栈
「数据结构详解·四」队列
「数据结构详解·五」链表
「数据结构详解·六」哈希表
「数据结构详解·七」并查集的初步
「数据结构详解·八」带权并查集 & 扩展域并查集

1. 带权并查集 & 扩展域并查集

普通的并查集，边是没有权值的。而带权并查集（边带权并查集），则是边上是有权值的并查集。
差不多就是这样：

而扩展域并查集（种类并查集），就是原本有 $n$ 个节点，但是扩展成了 $kn$ 个节点的并查集。
以下就是一个扩展域并查集：

扩展域并查集可以处理一些普通并查集和带权并查集无法处理的并查集题目。

2. 例题详解

2-1. 洛谷 P1196 [NOI2002] 银河英雄传说

记 $d_i$ 为 $i$ 与其所在队列的队头距离， $sz_i$ 为 $i$ 为队头时队列元素个数。
则对于 $\texttt M$ 操作只要处理 $f a, sz, d$ 的值， $\texttt C$ 操作只要判断两者是否在同一队列内，是则输出 $d_x-d_y|+1$ ，否则输出 $- 1$ 。
参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int fa[30005],d[30005],sz[30005];

int find(int x)
{
	if(fa[x]==x) return x;
	int p=find(fa[x]);
	d[x]+=d[fa[x]];//累加
	return fa[x]=p;
}

int main()
{
	for(int i=1;i<=30000;i++) fa[i]=i,sz[i]=1;//初始化
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		char op;
		int x,y;
		cin>>op>>x>>y;
		if(op=='M')
		{
			x=find(x);
			y=find(y);
			fa[x]=y;
			d[x]=sz[y];
			sz[y]+=sz[x];//合并
		}
		else if(find(x)==find(y)) cout<<abs(d[x]-d[y])-1<<endl;
		else puts("-1");
	}
 	return 0;
}

2-2. 洛谷 P2024 [NOI2001] 食物链

通过题面第一句话得知，我们可以开三倍空间的并查集，也就是扩展域并查集。
若 $o p = 1$ ，则我们可以将三个并查集内的 $x, y$ 都放入同一个集合。
若 $o p = 2$ ，则我们可以类似环形地将第一个并查集的 $x$ 和第三个并查集的 $y$ 、第二个并查集的 $x$ 和第一个并查集的 $y$ 、第三个并查集的 $x$ 和第二个并查集的 $y$ 互相合并。
对于矛盾话语，我们外加判断即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,k,fa[150005],ans;

int find(int x)
{
	return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}

int main()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n*3;i++) fa[i]=i;//初始化
	while(k--)
	{
		int op,x,y;
		cin>>op>>x>>y;
		if(x>n||y>n)//矛盾
		{
			ans++;
			continue;
		}
		if(op==1)//为同类
		{
			if(find(x)==find(y+n)||find(x+n)==find(y))//矛盾
			{
				ans++;
				continue;
			}
			fa[find(x)]=find(y);
			fa[find(x+n)]=find(y+n);
			fa[find(x+n+n)]=find(y+n+n);
		}
		else//为 x 吃 y
		{
			if(find(x)==find(y)||find(x)==find(y+n))//矛盾
			{
				ans++;
				continue;
			}
			fa[find(x+n)]=find(y);
			fa[find(x+n+n)]=find(y+n);
			fa[find(x)]=find(y+n+n);
		}
	}
	cout<<ans;
 	return 0;
}