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4）自适应滤波（一）

news 来源：原创 2024/5/10 12:00:50

一.LMS算法

1.滤波器——改变信号频谱

模拟滤波器：

数字滤波器：

2.自适应滤波器简介

自适应滤波器：

非自适应滤波器：

自适应滤波器应用：

自适应滤波场景：

自适应滤波处理逻辑（处理非平稳信号）：

3.N阶线性系统：

4.维纳滤波器（Wiener）

基本推导：

优缺点：

5.基本LMS算法

动机：

标准LMS算法的执行流程：

LMS算法的基本思想——梯度下降

LMS算法的优缺点：

LMS算法的改进思路：

6.Block LMS

Block LMS梯度计算公式推导：

Block LMS滤波器系数更新公式推导：

7.Block LMS的两个核心运算：

两个序列的线性卷积和线性相关

8.Block LMS——线性卷积和线性相关变换到频域进行优化计算：

8.1 计算线性卷积：

8.2 计算线性相关

8.3 滤波器系数更新

8.4 FDAF框架：

9.关于LMS算法的问题讨论？

Q1: LMS算法对输入信号有什么要求？

Q2: 什么是归一化LMS、功率归一化LMS？

Q3: 学习速率如何选取？

作业：

Table of Contents

- 一.LMS算法

- 1.滤波器——改变信号频谱

- 模拟滤波器：

- 数字滤波器：

- 2.自适应滤波器简介

- 自适应滤波器：

- 非自适应滤波器：

- 自适应滤波器应用：

- 自适应滤波场景：

- 自适应滤波处理逻辑（处理非平稳信号）：

- 3.N阶线性系统：

- 4.维纳滤波器（Wiener）

- 基本推导：

- 优缺点：

- 5.基本LMS算法

- 动机：

- 标准LMS算法的执行流程：

- LMS算法的基本思想——梯度下降

- LMS算法的优缺点：

- LMS算法的改进思路：

- 6.Block LMS

- Block LMS梯度计算公式推导：

- Block LMS滤波器系数更新公式推导：

- 7.Block LMS的两个核心运算：

- 两个序列的线性卷积和线性相关

- 8.Block LMS——线性卷积和线性相关变换到频域进行优化计算：

- 8.1 计算线性卷积：

- 计算时域的线性卷积通常简化到频域上计算两个序列的相乘。

- 为什么采用圆周运算？

- Overlap-save method（频域）

- 为什么圆周卷积后 N1-N2+1 点与线性卷积结果相同？

- 如何构造长度2N的序列？

- Overlap-save method流程：

- 8.2 计算线性相关

- 8.3 滤波器系数更新

- 8.4 FDAF框架：

- 9.关于LMS算法的问题讨论？

- Q1: LMS算法对输入信号有什么要求？

- Q2: 什么是归一化LMS、功率归一化LMS？

- Q3: 学习速率如何选取？

- 作业：

一.LMS算法

1.滤波器——改变信号频谱

模拟滤波器：

由R、L、C（电阻、电感、电容）构成的模拟电路，A/D前的抗混叠滤波器

数字滤波器：

由数字加法器、乘法器、延时器构成，基于数字信号运算实现

2.自适应滤波器简介

自适应滤波器：

一种能够根据输入信号自动调整参数的数字滤波器

非自适应滤波器：

具有静态滤波器系数的数字滤波器，这些静态系数构成了滤波器的传递函数。

自适应滤波器应用：

应用在如系统辨识、预测、噪声消除等

自适应滤波场景：

无法事先知道需要进行操作的参数，必须使用自适应的系数进行处理，通常使用自适应滤波器。

自适应滤波处理逻辑（处理非平稳信号）：

自适应滤波器处理语音信号时，不需要事先知道输入信号和噪声的统计特性，滤波器自身能够在工作过程中学习或估计信号的统计特性，并以此为依据调整自身参数，达到某种准则或代价函数下的最优滤波效果。

一旦输入信号统计特性发生变化，还可以跟踪变化，重新调整参数，使得滤波器性能达到最优。

3.N阶线性系统：

如下图：

w（n）表示N阶线性系统N个参数组成的向量。当有输入x后，则输出是输入和参数的线性卷积的结果。

3.1，X 与 W 的运算，满足转置的交换律.

3.4，e表示 n时刻的后验误差，因为计算过程中把n时刻的参数w当作了已知。

问题：

N阶线性系统的公式为什么是3.1 公式那样表示？

4.维纳滤波器（Wiener）

【均方误差准则下的最优解】

推导如下，延续上一节N阶线性系统计算出的误差。

基本推导：

有了误差的定义后，接下来是找一个最优化准则和基于准则下的目标函数。常用最小均方误差（MMSE）。如下图：

3.6，为了最小化误差函数J（w），需要计算J（w）对w的导数，令导数为0。R是输入x（n）的自相关矩阵，r是相关向量。

3.7，是基于MMSE准则下的最优解。

问题：

3.6，是计算J（w）对w的导数令导数为零的结果，具体是怎么计算的？

优缺点：

优点：

维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。

缺点：

维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。因此，维纳滤波在实际问题中应用不多。实现维纳滤波的要求是：①输入过程是广义平稳的；②输入过程的统计特性是已知的。根据其他最佳准则的滤波器亦有同样要求。然而，由于输入过程取决于外界的信号、干扰环境，这种环境的统计特性常常是未知的、变化的，因而难以满足上述两个要求。这就促使人们研究自适应滤波器。