希尔伯特变换分析及应用
概述
希尔伯特变换是信号处理中一种常用的手段。常常用来作为信号的相位调整手段，但每次变换只能相位偏移90°。且希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。对于任意给定 t t t时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能存在一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号。对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大程度上失真，所以应用希尔伯特变换要特别谨慎。
正文
数学定义是：
设有一个实函数 X ( t ) X(t) X(t)，其希尔伯特变换记作 X ^ ( t ) \hat{X}(t) X^(t)（或记作 H [ X ( t ) ] H\left[X(t)\right] H[X(t)]）
X ^ ( t ) = H [ X ( t ) ] = 1 π ∫ − ∞ ∞ X ( τ ) t − τ d τ \hat{X}(t)=H\left[X(t)\right]=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{X(\tau)}{t-\tau}d\tau X^(t)=H[X(t)]=π1∫−∞∞t−τX(τ)dτ
反变换为：
X ( t ) = H − 1 [ X ^ ( t ) ] = − 1 π ∫ − ∞ ∞ X ^ ( τ ) t − τ d τ X(t)=H^{-1}\left[\hat{X}(t)\right]=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{X}(\tau)}{t-\tau}d\tau X(t)=H−1[X^(t)]=−π1∫−∞∞t−τX^(τ)dτ
与卷积的概念相比较，可以发现，上面的Hilbert变换的表达式实际上就是将原始信号和一个信号做卷积的结果。这个用来卷积的信号就是 h ( t ) = 1 π t h(t)=\frac{1}{\pi{t}} h(t)=πt1
所以对 h ( t ) h(t) h(t)做 F F T FFT FFT可以得到：
H ( j w ) = F { h } ( w ) = − j s g n ( w ) H(jw)=F\{h\}(w)=-jsgn(w) H(jw)=F{h}(w)=−jsgn(w)
或者
s g n ( w ) = { 1 , w > 0 0 , w = 0 − 1 , w < 0 } sgn(w)=\left\{\begin{matrix}1,w>0\\0,w=0\\-1,w<0\end{matrix}\right\} sgn(w)=⎩ ⎨ ⎧1,w>00,w=0−1,w<0⎭ ⎬ ⎫
其中 F F F是傅里叶变换， j j j是虚数单位， w w w是频率。
从频域上看， s g n ( w ) sgn(w) sgn(w)即将原始信号的正频率部分乘以 − j -j −j，负频率部分乘以 j j j，也就是说，在保持幅度不变的情况下，可以将信号正频率部分相位偏移 − π 2 -\frac{\pi}{2} −2π，负频率相位偏移 π 2 \frac{\pi}{2} 2π。
所以希尔伯特转换步骤为：
(1)将原始信号进行傅里叶变换
(2)将转换后的信号分为正频率部分和负频率部分，正频率信号数据**{ 将虚部数据换到实部，将实部数据乘以-1换到虚部}，负频率信号数据{将虚部数据乘以-1换到实部，将实部数据换到虚部}**
(3)将交换后的数据进行傅里叶反变换得到最终结果
如下图所示：
实验结果
本实验基于STM32F429，移植ARM_DSP库，使用实数fft变换函数。
C代码参考：
arm_rfft_fast_init_f32(&S, TEST_LENGTH_SAMPLES);
for(i=0; i<1024; i++)
{
testInput_f32[i] = sin(2*3.1415926f*50*i/1024);
}
//正变换
ifftFlag = 0;
arm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32, testOutput_f32, ifftFlag);
for(i=0; i<512; i++)
{
fft_tmp.real[i] = testOutput_f32[2*i];
fft_tmp.ima[i] = testOutput_f32[2*i + 1];
}
//hilbert
for(i=0;i<512;i++)
{
hilbert_tmp.real[i] = fft_tmp.ima[i];
hilbert_tmp.ima[i] = -fft_tmp.real[i];
}
for(i=0;i<512;i++)
{
testInput_f32[2*i] = hilbert_tmp.real[i];
testInput_f32[2*i + 1] = hilbert_tmp.ima[i];
}
//反变换
ifftFlag = 1;
arm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32, fft_iout, ifftFlag);
由于点数太多，所以仅显示250个点。实验结果如下：
总结
这样就完成了希尔伯特变换在信号处理上的应用。