高等数学（第七版）同济大学 习题8-6 个人解答
高等数学（第七版）同济大学 习题8-6
函数作图软件：Mathematica
1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形： \begin{aligned}&1. \ 画出下列曲线在第一卦限内的图形：&\end{aligned} 1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形：
( 1 ) { x = 1 ， y = 2 ； ( 2 ) { z = 4 − x 2 − y 2 ， x − y = 0 ； ( 3 ) { x 2 + y 2 = a 2 ， x 2 + z 2 = a 2 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x=1，\\\\y=2；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}z=\sqrt{4-x^2-y^2}，\\\\x-y=0；\end{cases}\\\\ &\ \ (3)\ \ \begin{cases}x^2+y^2=a^2，\\\\x^2+z^2=a^2.\end{cases} & \end{aligned} (1) ⎩ ⎨ ⎧x=1，y=2； (2) ⎩ ⎨ ⎧z=4−x2−y2，x−y=0； (3) ⎩ ⎨ ⎧x2+y2=a2，x2+z2=a2.
解：
(
1
)
\begin{aligned} &\ \ (1)\ & \end{aligned}
(1)
(
2
)
\begin{aligned} &\ \ (2)\ & \end{aligned}
(2)
(
3
)
\begin{aligned} &\ \ (3)\ & \end{aligned}
(3)
2. 指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形： \begin{aligned}&2. \ 指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：&\end{aligned} 2. 指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：
( 1 ) { y = 5 x + 1 ， y = 2 x − 3 ； ( 2 ) { x 2 4 + y 2 9 = 1 ， y = 3. \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}y=5x+1，\\\\y=2x-3；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1，\\\\y=3.\end{cases} & \end{aligned} (1) ⎩ ⎨ ⎧y=5x+1，y=2x−3； (2) ⎩ ⎨ ⎧4x2+9y2=1，y=3.
解：
( 1 ) { y = 5 x + 1 ， y = 2 x − 3 ； 在平面解析几何中表示两直线的交点，在空间解析几何中表示两平面的交线 . ( 2 ) { x 2 4 + y 2 9 = 1 ， y = 3. 在平面解析几何中 表示椭圆 x 2 4 + y 2 9 = 1 与其切线 y = 3 的交点，在空间解析几何中表示椭圆 x 2 4 + y 2 9 = 1 与其切平面 y = 3 的交线 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \begin{cases}y=5x+1，\\\\y=2x-3；\end{cases}在平面解析几何中表示两直线的交点，在空间解析几何中表示两平面的交线.\\\\ &\ \ (2)\ \begin{cases}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1，\\\\y=3.\end{cases}在平面解析几何中\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 表示椭圆\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1与其切线y=3的交点，在空间解析几何中表示椭圆\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1与其切平面y=3的交线. & \end{aligned} (1) ⎩ ⎨ ⎧y=5x+1，y=2x−3；在平面解析几何中表示两直线的交点，在空间解析几何中表示两平面的交线. (2) ⎩ ⎨ ⎧4x2+9y2=1，y=3.在平面解析几何中 表示椭圆4x2+9y2=1与其切线y=3的交点，在空间解析几何中表示椭圆4x2+9y2=1与其切平面y=3的交线.
3. 分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线 { 2 x 2 + y 2 + z 2 = 16 ， x 2 + z 2 − y 2 = 0. 的柱面方程 . \begin{aligned}&3. \ 分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线\begin{cases}2x^2+y^2+z^2=16，\\\\x^2+z^2-y^2=0.\end{cases}的柱面方程.&\end{aligned} 3. 分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线⎩ ⎨ ⎧2x2+y2+z2=16，x2+z2−y2=0.的柱面方程.
解：
方程组 { 2 x 2 + y 2 + z 2 = 16 ， x 2 + z 2 − y 2 = 0. 消去 x ，得 3 y 2 − z 2 = 16 ，即母线平行于 x 轴而且通过已知曲线的柱面方程 . 方程组 { 2 x 2 + y 2 + z 2 = 16 ， x 2 + z 2 − y 2 = 0. 消去 y ，得 3 x 2 + 2 z 2 = 16 ，即母线平行于 y 轴而且通过已知曲线的柱面方程 . \begin{aligned} &\ \ 方程组\begin{cases}2x^2+y^2+z^2=16，\\\\x^2+z^2-y^2=0.\end{cases}消去x，得3y^2-z^2=16，即母线平行于x轴而且通过已知曲线的柱面方程.\\\\ &\ \ 方程组\begin{cases}2x^2+y^2+z^2=16，\\\\x^2+z^2-y^2=0.\end{cases}消去y，得3x^2+2z^2=16，即母线平行于y轴而且通过已知曲线的柱面方程. & \end{aligned} 方程组⎩ ⎨ ⎧2x2+y2+z2=16，x2+z2−y2=0.消去x，得3y2−z2=16，即母线平行于x轴而且通过已知曲线的柱面方程. 方程组⎩ ⎨ ⎧2x2+y2+z2=16，x2+z2−y2=0.消去y，得3x2+2z2=16，即母线平行于y轴而且通过已知曲线的柱面方程.
4. 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = 9 与平面 x + z = 1 的交线在 x O y 面上的投影的方程 . \begin{aligned}&4. \ 求球面x^2+y^2+z^2=9与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影的方程.&\end{aligned} 4. 求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影的方程.
解：
联立方程组 { x 2 + y 2 + z 2 = 9 ， x + z = 1. 消去 z ，得 x 2 + y 2 + ( 1 − x ) 2 = 9 ，即 2 x 2 − 2 x + y 2 = 8 ， 表示母线平行于 x 轴的柱面，因此， { 2 x 2 − 2 x + y 2 = 8 ， z = 0. 表示已知交线在 x O y 面上的投影的方程 . \begin{aligned} &\ \ 联立方程组\begin{cases}x^2+y^2+z^2=9，\\\\x+z=1.\end{cases}消去z，得x^2+y^2+(1-x)^2=9，即2x^2-2x+y^2=8，\\\\ &\ \ 表示母线平行于x轴的柱面，因此，\begin{cases}2x^2-2x+y^2=8，\\\\z=0.\end{cases}表示已知交线在xOy面上的投影的方程. & \end{aligned} 联立方程组⎩ ⎨ ⎧x2+y2+z2=9，x+z=1.消去z，得x2+y2+(1−x)2=9，即2x2−2x+y2=8， 表示母线平行于x轴的柱面，因此，⎩ ⎨ ⎧2x2−2x+y2=8，z=0.表示已知交线在xOy面上的投影的方程.
5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程： \begin{aligned}&5. \ 将下列曲线的一般方程化为参数方程：&\end{aligned} 5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程：
( 1 ) { x 2 + y 2 + z 2 = 9 ， y = x ； ( 2 ) { ( x − 1 ) 2 + y 2 + ( z + 1 ) 2 = 4 ， z = 0. \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x^2+y^2+z^2=9，\\\\y=x；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}(x-1)^2+y^2+(z+1)^2=4，\\\\z=0.\end{cases} & \end{aligned} (1) ⎩ ⎨ ⎧x2+y2+z2=9，y=x； (2) ⎩ ⎨ ⎧(x−1)2+y2+(z+1)2=4，z=0.
解：
( 1 ) 将 y = x 代入 x 2 + y 2 + z 2 = 9 ，得 2 x 2 + z 2 = 9 ，取 x = 3 2 c o s t ，则 z = 3 s i n t ， 得该曲线的参数方程 { x = 3 2 c o s t ， y = 3 2 c o s t ， z = 3 s i n t . ( 0 ≤ t < 2 π ) . ( 2 ) 将 z = 0 代入 ( x − 1 ) 2 + y 2 + ( z + 1 ) 2 = 4 ，得 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 3 ，取 x − 1 = 3 c o s t ，则 y = 3 s i n t ， 得该曲线的参数方程 { x = 1 + 3 c o s t ， y = 3 s i n t ， z = 0. ( 0 ≤ t < 2 π ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ 将y=x代入x^2+y^2+z^2=9，得2x^2+z^2=9，取x=\frac{3}{\sqrt{2}}cos\ t，则z=3sin\ t，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得该曲线的参数方程\begin{cases}x=\frac{3}{\sqrt{2}}cos\ t，\\\\y=\frac{3}{\sqrt{2}}cos\ t，\\\\z=3sin\ t.\end{cases}\ (0 \le t \lt 2\pi).\\\\ &\ \ (2)\ 将z=0代入(x-1)^2+y^2+(z+1)^2=4，得(x-1)^2+y^2=3，取x-1=\sqrt{3}cos\ t，则y=\sqrt{3}sin\ t，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得该曲线的参数方程\begin{cases}x=1+\sqrt{3}cos\ t，\\\\y=\sqrt{3}sin\ t，\\\\z=0.\end{cases}\ (0 \le t \lt 2\pi). & \end{aligned} (1) 将y=x代入x2+y2+z2=9，得2x2+z2=9，取x=23cos t，则z=3sin t， 得该曲线的参数方程⎩ ⎨ ⎧x=23cos t，y=23cos t，z=3sin t. (0≤t<2π). (2) 将z=0代入(x−1)2+y2+(z+1)2=4，得(x−1)2+y2=3，取x−1=3cos t，则y=3sin t， 得该曲线的参数方程⎩ ⎨ ⎧x=1+3cos t，y=3sin t，z=0. (0≤t<2π).
6. 求螺旋线 { x = a c o s θ ， y = a s i n θ ， z = b θ . 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程 . \begin{aligned}&6. \ 求螺旋线\begin{cases}x=acos\ \theta，\\\\y=asin\ \theta，\\\\z=b\theta.\end{cases}在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.&\end{aligned} 6. 求螺旋线⎩ ⎨ ⎧x=acos θ，y=asin θ，z=bθ.在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
解：
由 { x = a c o s θ ， y = a s i n θ . 得 x 2 + y 2 = a 2 ，因此该螺旋线在 x O y 面上的投影曲线的直角坐标方程为 { x 2 + y 2 = a 2 ， z = 0. 由 { y = a s i n θ ， z = b θ . 得 y = a s i n z b ，因此该螺旋线在 y O z 面上的投影曲线的直角坐标方程为 { y = a s i n z b ， x = 0. 由 { x = a c o s θ ， z = b θ . 得 x = a c o s z b ，因此该螺旋线在 x O z 面上的投影曲线的直角坐标方程为 { x = a c o s z b ， y = 0. \begin{aligned} &\ \ 由\begin{cases}x=acos\ \theta，\\\\y=asin\ \theta.\end{cases}得x^2+y^2=a^2，因此该螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为\begin{cases}x^2+y^2=a^2，\\\\z=0.\end{cases}\\\\ &\ \ 由\begin{cases}y=asin\ \theta，\\\\z=b\theta.\end{cases}得y=asin\ \frac{z}{b}，因此该螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为\begin{cases}y=asin\ \frac{z}{b}，\\\\x=0.\end{cases}\\\\ &\ \ 由\begin{cases}x=acos\ \theta，\\\\z=b\theta.\end{cases}得x=acos\ \frac{z}{b}，因此该螺旋线在xOz面上的投影曲线的直角坐标方程为\begin{cases}x=acos\ \frac{z}{b}，\\\\y=0.\end{cases} & \end{aligned} 由⎩ ⎨ ⎧x=acos θ，y=asin θ.得x2+y2=a2，因此该螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为⎩ ⎨ ⎧x2+y2=a2，z=0. 由⎩ ⎨ ⎧y=asin θ，z=bθ.得y=asin bz，因此该螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为⎩ ⎨ ⎧y=asin bz，x=0. 由⎩ ⎨ ⎧x=acos θ，z=bθ.得x=acos bz，因此该螺旋线在xOz面上的投影曲线的直角坐标方程为⎩ ⎨ ⎧x=acos bz，y=0.
7. 求上半球 0 ≤ z ≤ a 2 − x 2 − y 2 与圆柱体 x 2 + y 2 ≤ a x ( a > 0 ) 的公共部分在 x O y 面和 x O z 面上的投影 . \begin{aligned}&7. \ 求上半球0 \le z \le \sqrt{a^2-x^2-y^2}与圆柱体x^2+y^2 \le ax\ (a \gt 0)的公共部分在xOy面和xOz面上的投影.&\end{aligned} 7. 求上半球0≤z≤a2−x2−y2与圆柱体x2+y2≤ax (a>0)的公共部分在xOy面和xOz面上的投影.
解：
如图，所求立体在
x
O
y
面上的投影即为
x
2
+
y
2
≤
a
x
，由方程组
{
z
=
a
2
−
x
2
−
y
2
，
x
2
+
y
2
=
a
x
.
得
z
=
a
2
−
a
x
，
因此所求立体在
x
O
z
面上的投影为由
x
轴，
z
轴和曲线
z
=
a
2
−
a
x
所围成的区域
.
\begin{aligned} &\ \ 如图，所求立体在xOy面上的投影即为x^2+y^2 \le ax，由方程组\begin{cases}z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}，\\\\x^2+y^2=ax.\end{cases}得z=\sqrt{a^2-ax}，\\\\ &\ \ 因此所求立体在xOz面上的投影为由x轴，z轴和曲线z=\sqrt{a^2-ax}所围成的区域. & \end{aligned}
如图，所求立体在xOy面上的投影即为x2+y2≤ax，由方程组⎩
⎨
⎧z=a2−x2−y2，x2+y2=ax.得z=a2−ax， 因此所求立体在xOz面上的投影为由x轴，z轴和曲线z=a2−ax所围成的区域.
8. 求旋转抛物面 z = x 2 + y 2 ( 0 ≤ z ≤ 4 ) 在三坐标面上的投影 . \begin{aligned}&8. \ 求旋转抛物面z=x^2+y^2\ (0 \le z \le 4)在三坐标面上的投影.&\end{aligned} 8. 求旋转抛物面z=x2+y2 (0≤z≤4)在三坐标面上的投影.
解：
联立方程组
{
z
=
x
2
+
y
2
，
z
=
4.
得
x
2
+
y
2
=
4
，因此旋转抛物面在
x
O
y
面上的投影为
{
x
2
+
y
2
≤
4
，
z
=
0.
联立方程组
{
z
=
x
2
+
y
2
，
x
=
0.
得
z
=
y
2
，因此旋转抛物面在
y
O
z
面上的投影为由
z
=
y
2
和
z
=
4
所围成的区域
.
联立方程组
{
z
=
x
2
+
y
2
，
y
=
0.
得
z
=
x
2
，因此旋转抛物面在
x
O
z
面上的投影为由
z
=
x
2
和
z
=
4
所围成的区域
.
\begin{aligned} &\ \ 联立方程组\begin{cases}z=x^2+y^2，\\\\z=4.\end{cases}得x^2+y^2=4，因此旋转抛物面在xOy面上的投影为\begin{cases}x^2+y^2 \le 4，\\\\z=0.\end{cases}\\\\ &\ \ 联立方程组\begin{cases}z=x^2+y^2，\\\\x=0.\end{cases}得z=y^2，因此旋转抛物面在yOz面上的投影为由z=y^2和z=4所围成的区域.\\\\ &\ \ 联立方程组\begin{cases}z=x^2+y^2，\\\\y=0.\end{cases}得z=x^2，因此旋转抛物面在xOz面上的投影为由z=x^2和z=4所围成的区域. & \end{aligned}
联立方程组⎩
⎨
⎧z=x2+y2，z=4.得x2+y2=4，因此旋转抛物面在xOy面上的投影为⎩
⎨
⎧x2+y2≤4，z=0. 联立方程组⎩
⎨
⎧z=x2+y2，x=0.得z=y2，因此旋转抛物面在yOz面上的投影为由z=y2和z=4所围成的区域. 联立方程组⎩
⎨
⎧z=x2+y2，y=0.得z=x2，因此旋转抛物面在xOz面上的投影为由z=x2和z=4所围成的区域.
