（顶刊）一个基于分类代理模型的超多目标优化算法

《A Classification Based Surrogate-Assisted Evolutionary Algorithm for Expensive Many-Objective Optimization》

摘要

提出了一种基于分类模型网络预测的模型，比较candidate solutions 和 reference solutions之间的支配关系而不是去分别对目标值进行近似，考虑预测时的不确定性和分类的类别进行个体选择。

创新点
1、是做分类，但是是和分类边界（参考解）进行比较，而不是每个个体之间进行相互比较
2、选择的参考解可以很好地保持种群的收敛性和多样性，没有使用主流的三类MOEA方法，而是使用了基于径向过程的方式来进行环境选择
3、考虑到模型可能发生错误，使用了交叉验证和可信度配置的方式验证模型的效果

速看版本

• 使用径向过程将m维目标空间投影到2维，在2维径向空间里使用网格的方式选点作为分类参考点，本文经过实验对比选定k=6
• 使用真实的目标函数依次与参考点集合进行支配关系对比，将种群分为Ⅰ（被支配的）和Ⅱ（非支配的）两类
• 分别在Ⅰ、Ⅱ中按照1：3选择验证集和测试集，使用训练集进行网络的训练，网络使用了基础的FNN
• 使用验证集对网络进行验证，并根据原始的分类与预测的结果得到可信度支配结果
• 使用模型进行个体选择
• 再次使用径向方式投影，并用网格的方法进行环境选择
• 循环上述所有步骤，直到$FE>F{E}_{max}$

实现框架
模型：a classification based surrogate-assisted evolutionary algorithm(CSEA)

1、初始化
使用LHS采样生成初始种群P，使用随机生成的权重参数构成的三层的FNN，隐层有H个神经元，激活函数是sigmoid。并使用objective function来预测解，得到解对应的目标值，并将这些目标值和对应的解存档。

2、选择参考解构建分类模型
使用基于径向的选择方法从1中的存档中选择解生成参考解种群$P_R$，作为分类的边界

3、模型更新和验证
根据分类的边界，使用分类模型将步骤1中存档的解分为两类，在径向空间里可以表现为被参考解支配或是支配参考解，并将这些解根据3：1的比例作为训练数据和测试数据，使用交叉验证方法来评估模型的可靠性，构建训练分类模型

4、模型辅助的选择（surrogate-assisted selection）
在1生成的种群P中使用交叉和变异来生成下一代，根据分类模型的结果和模型可信度（所预测的解的确定度）从子代中选出有希望的解（promising solutions），加入存档Arc中，作为下一迭代的训练数据

5、环境选择
使用径向过程选择从中间种群中选出N个作为下一代种群

6、结束
循环2，3，4，5，直到$FE>F{E}_{max}$，该算法停止

细节详细说明
A）分类边界定义
根据产生的参考解生成一个分类边界，根据在径向空间中与分类边界对应的支配关系被分为Ⅰ/Ⅱ类（即：Ⅱ类支配参考解，参考解支配Ⅰ类）
将m维的目标向量投影到2维的径向空间,2维的径向空间（radial space）被分成一个一个的网格

W：投影矩阵
K：所需要选择解的个数=参考解的个数=种群大小
$Con$：在目标空间里计算理想点和待选点之间的欧式距离来计算收敛性
$Crowd$：在径向空间里同一个网格内被选择的点的个数来计算分布性

关于径向过程的参考：《A radial space division based evolutionary algorithm for many-objective optimization》
一个m维的向量根据径向权重参数矩阵$W_1$和$W_2$可以投影到2维的空间中，根据n和$B_l$，$B_u$可以将2维径向空间分成$m/n$个网格，每个网格有一个$crowd(G_s)$表示这个网格内解的个数；每个解有一个con（P）表示这个解的收敛性，$con(P)=||\frac{P-minP}{maxP-minP}||$表示这个解离当前种群中最优解的距离（标准化）。

进行K次循环，每次循环先找一个crowd最小的网格，在该网格内计算$Fit(Q,P_R)$值，得到最小的解，将该个体放入待参考的种群中，将该解从原始种群中除去，更新该解所在的网格crowd=crowd+1，这样求得的解应该是在满足分布性的基础上收敛性最好的解。最后得到K个带参考解

参考解的数量会影响分类边界的分类效果，也就是影响到种群的多样性和分布性

根据不同的实验对比得到K=6表现比较稳定

B） 分类模型管理方法（surrogate management method）
1）模型初始化
FNN的结构如下所示，所有的权重w均是随机在[0,1]的数字，初始时是随机生成的权重参数，后面随着模型的训练进行更新

$$sigmoid=\frac{1}{1+e^{-\lambda x}}$$

2）模型更新
将数据分为3：1的比例，是按照已经分好类的Ⅰ和Ⅱ中各选择1/3和3/4的解作为验证和训练数据。

• 模型使用LM（Levenberg-Marquardt back-propagation method）作为反馈函数。
• 每一个测试样例分别迭代50次。
• 使用一个存档来存储用适应度函数计算出来的解

3）模型验证
使用交叉验证计算FNN的不确定性。

• 分别计算类别Ⅰ，类别Ⅱ和测试集的误差，并使用MAE(mean absolute error)计算误差，可以得到类别Ⅰ/Ⅱ的平均绝对误差$p_1$、$p_2$。
  $$MAE=\frac{{\Sigma }_{i=1}^{|Q_c|}abs(c-C_{p_i})}{|Q_c|}$$
  表示类别c的测试误差，$|Q_c|$表示所有类别c的的集合的元素个数

4）模型辅助选择原则
根据精英原则，我们需要尽可能多的选择类型Ⅱ的个体保留。

联合测试误差$p_1$、$p_2$来评估FNN的不确定性，判断由模型得出的解是否可信，结合不确定性判断是否需要使用目标函数计算来选择promising solution。

• R1区域中
  • $p_2<tr$ （棕色部分）：表明分类器正确预测了第Ⅱ类
  • $p_1<trand{p}_2<(1-tr)$ （黄色部分）：表明对于Ⅰ的分类是可信的，因此预测到的Ⅰ类是可以丢弃的。需要通过调节阈值来进行分类器的准确度改善。
• R2区域（绿色部分）：对于Ⅰ和Ⅱ类都未正确地分类，这些解都不需要使用真实的目标函数来评估。
• R3区域（灰色部分）：在这个区域里，p2较大，因此本该属于第Ⅰ类的解很有可能被分为了第Ⅱ类，因此，被分为第Ⅰ类的解应该使用适应度函数计算来估计，它们很有可能被分为第Ⅱ类。

如果一个解分布在R1，这个被分为Ⅱ类的解用于生成子代直到终止条件；
如果一个解分布在R3，这个被分为Ⅰ类的解用于生成子代直到终止条件；
否则，则没有解被选择。

C） 模型准确性分析
使用如下指标来评价FNN的准确性。
{ C p 1 , C p 2 , . . . , C p ∣ Q ∣ } \{ C_{p_1} ,C_{p_2} ,...,C_{p_{|Q|}} \} {Cp1​​,Cp2​​,...,Cp∣Q∣​​}：表示使用FNN预测的解
{ C r 1 , C r 2 , . . . , C r ∣ Q ∣ } \{ C_{r_1} ,C_{r_2} ,...,C_{r_{|Q|}} \} {Cr1​​,Cr2​​,...,Cr∣Q∣​​}：表示使用目标函数计算而得到的真实的分类

$$表示所有预测中被预测为第Ⅱ类的比例rp=\frac{{\Sigma }_{i=1}^{|Q|}(C_{p_i}iscategoryⅡ)}{|Q|}$$

$$表示真实的样本中所有第Ⅱ类的比例rr=\frac{{\Sigma }_{i=1}^{|Q|}(C_{r_i}iscategoryⅡ)}{|Q|}$$
$rp->rr$，$|rp-rr|$越小，表明FNN的准确性越高

D）环境选择
继续使用径向过程进行环境选择，参数K变为N（种群大小）
详情见上述