极限运算法则——“高等数学”
各位CSDN的uu们你们好啊，今天，小雅兰学习的内容是极限运算法则
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无穷小的极限运算法则
定理1：两个无穷小的和是无穷小
定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
极限的四则运算法则
定理3
定理4
定理5：极限的保序性
例题
1.多项式（有理整函数）的极限
2.有理分式函数的极限
复合函数的极限运算法则
极限运算法则小结
先回顾一下之前已经学过的知识——函数的极限
光靠函数的极限解题肯定是不够，存在着一定的局限性，所以我们就引出了一系列知识点
我们会学习到四则运算法则和复合函数极限运算法则
从左向右依次为：双极限问题、右极限问题、左极限问题
上次课我们学到了无穷大与无穷小，了解到了无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程下，如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小，反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)不等于0，则1/f(x) 为无穷大
我们的回顾就到这里结束啦，下面我们进入正题
一、无穷小的极限运算法则
定理1：两个无穷小的和是无穷小
这就是我们定理1的证明过程了，下面，我们趁热打铁，来看几道例题
初学者很容易犯这样的错误，那么，正确的解法究竟是什么样子呢？
定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
我们来看一下证明过程
这就是我们的定理2的证明过程了，下面，我们还有几个推论
将推论2推广，可以得知：有限个无穷小的乘积也是无穷小
然后，我们再来看几个例题
sin x是有界函数，1/x是无穷小，这个例题完全诠释出了有界函数与无穷小的乘积是无穷小
有的人会这样写
这样的写法是不严谨的，因为当x趋向于无穷时，sin x的极限不存在
看此例题，|cos 1/x |<=1,所以cos 1/x是一个有界函数，这又是一个有界函数与无穷小的乘积的问题
再看一个例题
经过上述学习，大家已经知道了两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么肯定有人想：两个无穷小的商是无穷小吗？
这个答案是否定的，相信大家可以看出，两个无穷小的商的极限的情况是非常复杂的
二、极限的四则运算法则
定理3
然后我们来证明一下(2)
这个A是一个常数函数，β是一个无穷小，常数函数与无穷小的乘积是无穷小，所以A乘以β的极限是无穷小；同理，B是一个常数函数，α是一个无穷小， 那么B乘以α的极限也是无穷小。α是一个无穷小，β也是一个无穷小，两个无穷小的乘积是无穷小，所以α乘以β的乘积的极限是无穷小。
下面说明两点此定理的注意事项
（1）应用定理3时，要注意条件：lim f(x),limm g(x)均存在
下面来讲讲两个推论
定理4
定理5 （极限的保序性）
三、例题
1.多项式（有理整函数）的极限
来看几个简单的小题
2.有理分式函数的极限
来看几个小例题
结论
一般性结论
一个题目
这时要记住，千万不能把分子展开，这样计算量太大了！！！直接看三次项系数之比
四、复合函数的极限运算法则
例题
极限运算法则小结
好啦，那小雅兰今天学习的内容就到这里了，未来还要继续加油哟！！！