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线性代数 第六章 二次型

news 来源：原创 2024/5/18 11:49:49

一、矩阵表示

f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx

r(A)称为二次型的秩。只含有变量的平方项，所有混合项系数全是零，称为标准形；平方项的系数为1、-1或0，称为规范形。

二次型的标准形不唯一，可以用不用的坐标变换化二次型为标准形；二次型的规范形唯一。

可以用正交变换先把二次型化为标准形，然后再做“伸缩”化为规范形，亦可用配方法直接得规范形。

二、标准形

2.1 惯性定理：正负惯性指数

2.2 合同：C^TAC=B，其中C可逆

化为标准形：配方法、正交变换法。

三、正定

3.1 定义：\forall x\neq 0,x^TAx>0

3.2 充要条件

  • 特征值全大于0
  • 正惯性指数p=n
  • 顺序主子式全大于0
  • A=C^TEC，其中C可逆

3.3 必要条件：a_{ii}> 0,\left [ A \right ]>0

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