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acwing算法基础之搜索与图论--匈牙利算法求二分图的最大匹配数

news 来源：原创 2024/5/12 19:12:55

1 基础知识

二分图中的最大匹配数：从二分图中选择一些边（这些边连接集合A和集合B，集合A中结点数目为n1，集合B中结点数目为n2），设为集合S，其中任意两条边不共用一个结点。求集合S的最大元素数目，即二分图中的最大匹配数。

匈牙利算法的关键步骤：

初始化匹配数组match[1~n2] = 0。其中match[b] = a，表示集合B中的结点b匹配了集合A中的结点a。
遍历集合A中的每一个结点a：初始化状态数组st[1~n2] = false，其中st[b] = false表示集合B中的结点b没有被访问。然后，find(x)，如果它返回true，那么答案加1。

bool find(int a) {//a为集合A中的结点for (auto b : g[x]) {if (!st[b]) {//如果结点b没有被访问st[b] = true;if (match[b] == 0 || find(match[b])) { //如果结点b没有被匹配，或者结点b匹配了的结点可以找到新的match[b] = a;return true;}}}return false;
}

最终返回答案，即为该二分图的最大匹配数。

2 模板

int n1, n2;     // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N];       // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N];     // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过bool find(int x)
{for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (!st[j]){st[j] = true;if (match[j] == 0 || find(match[j])){match[j] = x;return true;}}}return false;
}// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{memset(st, false, sizeof st);if (find(i)) res ++ ;
}

3 工程化

题目1：求二分图的最大匹配。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>using namespace std;const int N = 510;
int n1, n2, m;
vector<vector<int>> g(N);
int match[N];
bool st[N];bool find(int a) {for (auto b : g[a]) {if (!st[b]) {st[b] = true;if (match[b] == 0 || find(match[b])) {match[b] = a;return true;}}}return false;
}int main() {cin >> n1 >> n2 >> m;int a, b;while (m--) {cin >> a >> b;g[a].emplace_back(b);}int res = 0;for (int i = 1; i <= n1; ++i) {memset(st, 0, sizeof st);if (find(i)) res++;}cout << res << endl;return 0;
}