2023 年 数维杯（C题）国际大学生数学建模挑战赛 |数学建模完整代码+建模过程全解全析

问题重述

信息技术和人工智能的迅速发展，特别关注大型语言模型（Large Language Models，LLMs）在全球范围内的广泛应用，以ChatGPT为代表。这些模型在机器人导航、语音识别、图像识别、自然语言处理和智能推荐等领域表现出色，为人们提供了丰富、智能和便捷的体验。
然而，随着这些技术的普及，也出现了一些潜在问题。首先，这些大型语言模型是基于文本训练的，而不同领域的语言和文化背景可能对生成的结果产生重要影响。其次，生成的文本可能存在语义偏见、逻辑不连贯和缺乏创造力的问题。最后，涉及隐私保护、版权保护以及学术不端行为等问题，特别是在学术领域可能存在使用AI生成论文导致的相关问题。
因此，虽然这些模型为我们带来了很多便利，但也需要认识到其潜在风险和挑战。在这个背景下，题目提出了一系列问题，旨在深入探讨使用AI生成文本可能引发的问题，并提出建立模型和方法来解决这些问题。

问题一

我们可以定义一些关键变量，然后通过对这些变量进行统计分析来寻找AI文本生成的基本规律。以下是一些可能的变量：

1. $W$：生成的字数要求，取值为200字、500字等。
2. $G$：生成次数，包括首次生成和点击"重新生成"按钮的次数。
3. $T$：是否中英文翻译，取值为0表示未翻译，1表示中文翻译，2表示英文翻译。
4. $S$：生成文本的风格，可以用一个离散值表示。

我们可以通过一个包含这些变量的矩阵 $X$ 来表示数据：

$$X=\left[\begin{array}{cccc}{W}_1& G_1& T_1& S_1\\ W_2& G_2& T_2& S_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ W_N& G_N& T_N& S_N\end{array}\right]$$

接下来，我们可以通过对矩阵 $X$ 进行统计分析，找到生成文本的基本规律。例如，我们可以计算在特定字数要求下，重新生成的次数的平均值、中英文翻译的频率分布、不同风格的出现频率等。

使用统计学方法，例如计算均值、方差、频率分布等。例如，我们可以定义一个函数 (f(W, G, T, S)) 来表示生成文本的某个方面，然后通过对 (X) 中的数据进行分析，得到关于这个函数的统计信息。

$f(W,G,T,S)=\text{某个方面的特征}$

在简单多元回归中，通过回归模型的输出来判断文本是否为AI生成，设置一个阈值，当模型的输出超过这个阈值时，认为文本是由AI生成的。

在多元回归中，模型的输出 $Y$ 可以表示为：

$$Y={\beta }_0+{\beta }_1\cdot W+{\beta }_2\cdot G+{\beta }_3\cdot T+{\beta }_4\cdot S+ϵ$$

其中，${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$是回归系数，$ϵ$ 是误差项。

设置一个阈值 $T_{\text{AI}}$，当 $Y>T_{\text{AI}}$ 时，认为文本是由AI生成的，否则认为不是。

在进行假设检验时，我们的目标是判断某个回归系数是否显著不为零。假设检验通常涉及到以下步骤：

首先，我们建立两个假设，即零假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$。

• $H_0$: 回归系数等于零，即 ${\beta }_i=0$，表示该变量对生成文本的某个方面没有显著影响。
• $H_1$: 回归系数不等于零，即 ${\beta }_i\ne 0$，表示该变量对生成文本的某个方面有显著影响。

选择显著性水平（Significance Level），通常用 (\alpha) 表示，例如取 (\alpha = 0.05)。这代表我们允许的错误发生率，即在零假设为真时错误地拒绝它的概率。

计算检验统计量（Test Statistic），该统计量用于在给定显著性水平下决定是否拒绝零假设。对于回归系数 (\beta_i)，检验统计量通常计算为：

$$t=\frac{{\hat{\beta }}_i}{\text{SE}({\hat{\beta }}_i)}$$

其中，${\hat{\beta }}_i$ 是回归系数的估计值，$\text{SE}({\hat{\beta }}_i)$ 是估计的标准误差。
根据检验统计量计算 p-值，p-值表示在零假设为真的情况下，观察到当前检验统计量或更极端情况的概率。

在给定的显著性水平下（通常为 (\alpha = 0.05)），比较 p-值和显著性水平，如果 (p < \alpha)，则拒绝零假设，认为回归系数显著不为零；如果 (p \geq \alpha)，则接受零假设，表示没有足够的证据拒绝零假设。

如果拒绝了零假设，说明相应的变量对生成文本的某个方面有显著影响。反之，如果接受了零假设，说明该变量对生成文本的某个方面没有显著影响。

通过假设检验的步骤，判断每个变量的回归系数是否显著不为零，从而在统计学上推断它们对生成文本的影响。

问题二

我们可以考虑使用一种二元分类的方法，通过分析每一段文本的多个因素来判断该段是否由AI生成。

定义一些可能影响判断的变量：

1. $L$：生成语言，0表示未生成，1表示中文生成，2表示英文生成。
2. (T)：是否翻译，0表示未翻译，1表示中文翻译，2表示英文翻译。
3. (G)：生成次数，表示生成的次数。
4. (L)：输出字数限制，0表示没有字数限制，1表示有字数限制。

将这些变量用一个矩阵 (Y) 表示，其中每一行代表一段文本。

$$Y=\left[\begin{array}{cccc}{L}_1& T_1& G_1& L_1\\ L_2& T_2& G_2& L_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ L_N& T_N& G_N& L_N\end{array}\right]$$

步骤二：建立二元分类模型

使用Transformer进行二元分类提供一些更具体的数学公式解释。我们将主要关注Transformer的Self-Attention机制和二元分类的数学表达。

1. Transformer的Self-Attention机制

Self-Attention机制允许模型在处理输入序列时对不同位置的信息分配不同的权重。对于一个输入序列 $X$，经过Self-Attention的计算，我们可以得到新的表示 (Z)，其中 $Z_i$ 表示第 $i$ 个位置的表示。Self-Attention的计算可以用以下公式表示：

$$Z_i=\sum _j\text{Attention}(X_i,X_j)\cdot X_j$$

其中，$\text{Attention}(X_i,X_j)$表示第 $i$ 个位置和第 $j$ 个位置之间的注意力权重。

2. 文本表示

对于文本段落的表示，我们可以使用Transformer的输出中的某一维度，通常是CLS标记的输出。表示为 $C$：

$$C=\text{Transformer}(X)$$

3. 二元分类层

将文本表示输入二元分类层，其中 (W) 是权重，(b) 是偏置，(f) 是激活函数（通常是Sigmoid函数）：

$$\hat{y}=f(W\cdot C+b)$$

4. 损失函数

使用二元交叉熵损失函数：

$$\text{Loss}=-\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\left[y_i\log ({\hat{y}}_i)+(1-y_i)\log (1-{\hat{y}}_i)\right]$$

其中，$N$ 是样本数量，$y_i$ 是实际标签（0或1），${\hat{y}}_i$ 是模型的预测输出。

5. 训练过程

通过反向传播算法，优化模型参数以最小化损失函数。使用梯度下降算法或其他优化算法。

6. 推断过程

在推断过程中，将新的文本输入模型，得到输出概率。可以根据概率设定一个阈值，例如0.5，判断文本是由AI生成还是非AI生成。

这些数学公式提供了对问题二中使用Transformer进行二元分类任务的详细解释。在实践中，可以根据具体情况调整模型结构和超参数。

步骤三：训练模型

使用已有的数据集，包含标记好的文本段落和对应的变量值，对模型进行训练。在训练中，模型将学习不同变量对于文本生成的影响，从而能够判断一段文本是否由AI生成。

在实际应用中，基于Transformer的二元分类任务的代码通常使用深度学习框架，例如TensorFlow或PyTorch。由于代码的长度较长，这里提供一个简化版本的伪代码，展示了关键的步骤和概念。

这个伪代码使用PyTorch作为深度学习框架，同时使用Hugging Face的Transformers库以便快速使用预训练的Transformer模型。

import torch
import torch.nn as nn
from transformers import BertModel, BertTokenizer# 定义Transformer模型
class TransformerClassifier(nn.Module):def __init__(self, hidden_size, num_classes):super(TransformerClassifier, self).__init__()self.transformer = BertModel.from_pretrained('bert-base-uncased')self.fc = nn.Linear(hidden_size, num_classes)self.sigmoid = nn.Sigmoid()def forward(self, input_ids, attention_mask):outputs = self.transformer(input_ids, attention_mask=attention_mask)cls_output = outputs.last_hidden_state[:, 0, :]logits = self.fc(cls_output)proba = self.sigmoid(logits)return proba# 数据预处理
tokenizer = BertTokenizer.from_pretrained('bert-base-uncased')
text = "This is a sample text."
inputs = tokenizer(text, return_tensors="pt", padding=True, truncation=True)# 构建模型
hidden_size = 768  # BERT-base的隐藏层大小
num_classes = 1    # 二元分类
model = TransformerClassifier(hidden_size, num_classes)# 模型输入
input_ids = inputs["input_ids"]
attention_mask = inputs["attention_mask"]# 模型输出
output_proba = model(input_ids, attention_mask)# 计算损失
criterion = nn.BCELoss()
target = torch.tensor([1.0])  # 实际标签
loss = criterion(output_proba, target)# 反向传播与优化
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)
optimizer.zero_grad()
loss.backward()
optimizer.step()

使用BERT模型进行文本表示，使用了Sigmoid激活函数和二元交叉熵损失函数进行二元分类。

步骤四：模型评估

使用另外的数据集对模型进行评估，检查模型的性能，包括准确率、召回率、精确率等指标。这些指标可以衡量模型在判断每一段文本生成情况上的表现。

import torch
from transformers import BertTokenizer# 加载已训练的模型
model = TransformerClassifier(hidden_size, num_classes)
model.load_state_dict(torch.load('your_trained_model.pth'))  # 请替换为你实际的模型文件路径
model.eval()# 数据预处理
tokenizer = BertTokenizer.from_pretrained('bert-base-uncased')
text = "This is a new text for inference."
inputs = tokenizer(text, return_tensors="pt", padding=True, truncation=True)# 模型输入
input_ids = inputs["input_ids"]
attention_mask = inputs["attention_mask"]# 推断
with torch.no_grad():output_proba = model(input_ids, attention_mask)# 输出概率
print("预测概率:", output_proba.item())# 根据阈值进行分类
threshold = 0.5
prediction = 1 if output_proba.item() > threshold else 0
print("预测结果:", prediction)

推理代码加载了之前训练好的模型权重，并使用该模型对新的文本进行推断。

这个方法结合了机器学习的思想，通过学习不同变量对文本生成的影响，使得模型能够在给定输入变量的情况下判断文本是否由AI生成。

问题三

对于语言模型特征中的信息熵，以及统计验证、特征工程、文献网络分析和社交网络分析等方法。

1. 语言模型特征：

1.1 信息熵：

信息熵是用来度量一个随机变量不确定度的概念，可以应用于文本的信息量评估。

$$H(X)=-\sum _{i=1}^{n}P(x_i){\log }_{2}P(x_i)$$

其中，$P(x_i)$ 是词汇表中第 $i$个词出现的概率。

2. 实验设计与验证：

2.1 统计验证：

在统计验证中，一个常见的做法是使用 t 检验。

$$t=\frac{\bar{X}-\mu }{s/\sqrt{n}}$$

其中，$\bar{X}$ 是样本均值，$\mu$是总体均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本大小。

3. 技术细节：

3.1 特征工程：

使用 TF-IDF进行关键词权重计算。

$$\text{TF-IDF}(t,d)=\text{TF}(t,d)\times \text{IDF}(t)$$

其中，TF 表示词频，IDF 表示逆文档频率。

4. 引用和参考文献：

4.1 文献网络分析：

可以使用图论的相关指标，如节点度、中心性等。

$$\text{centrality}=\frac{\text{连接到节点的边数}}{\text{总节点数}-1}$$

5. 作者身份可疑：

5.1 社交网络分析：

使用社交网络中的中心性指标，例如介数中心性。

$$\text{介数中心性}=\sum _{s\ne v\ne t}\frac{\sigma (s,t|v)}{\sigma (s,t)}$$

其中，$\sigma (s,t)$ 表示从节点 $s$ 到节点 $t$ 的最短路径数，$\sigma (s,t|v)$ 表示通过节点 (v) 的最短路径数。

结合多个特征进行加权得分和二元分类判断：

class BinaryClassifier:def __init__(self, weights, threshold):self.weights = weightsself.threshold = thresholddef calculate_total_score(self, features):# 计算总得分total_score = sum(f * w for f, w in zip(features, self.weights))return total_scoredef classify(self, total_score):# 进行二元分类判断return "AI生成" if total_score > self.threshold else "人类创作"# 示例特征和权重
example_features = [feature1, feature2, feature3]  # 请替换为实际特征的值
example_weights = [weight1, weight2, weight3]  # 请替换为实际权重的值# 示例阈值
example_threshold = 0.5  # 请替换为实际阈值# 创建二元分类器对象
classifier = BinaryClassifier(weights=example_weights, threshold=example_threshold)# 计算总得分
total_score_example = classifier.calculate_total_score(example_features)# 进行二元分类判断
classification_result = classifier.classify(total_score_example)# 打印结果
print(f"总得分: {total_score_example}")
print(f"分类结果: {classification_result}")

问题四：

了解，建立一个综合的抄袭检测模型需要综合考虑文本、图像和公式等多个方面。以下是一个简化的框架，其中包括文本相似性、图像处理和公式匹配等不同模块：

文本相似性模块：

使用文本相似性度量方法，如余弦相似度，来比较文章中数学模型的文本描述。

from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similaritydef calculate_text_similarity(text1, text2):vectorizer = CountVectorizer().fit_transform([text1, text2])vectors = vectorizer.toarray()similarity = cosine_similarity([vectors[0]], [vectors[1]])[0][0]return similarity

图像处理模块：

使用深度学习方法对图像进行特征提取，然后比较图像的相似性。

# 使用适当的深度学习库导入模型和相关功能
from tensorflow.keras.applications import VGG16
from tensorflow.keras.preprocessing import image
from tensorflow.keras.applications.vgg16 import preprocess_input
from tensorflow.keras.models import Model
import numpy as npdef calculate_image_similarity(image_path1, image_path2):# 使用预训练的VGG16模型提取图像特征model = VGG16(weights='imagenet', include_top=False)img1 = image.load_img(image_path1, target_size=(224, 224))img2 = image.load_img(image_path2, target_size=(224, 224))img1 = image.img_to_array(img1)img2 = image.img_to_array(img2)img1 = preprocess_input(np.expand_dims(img1, axis=0))img2 = preprocess_input(np.expand_dims(img2, axis=0))features1 = model.predict(img1)features2 = model.predict(img2)# 使用余弦相似度计算特征向量的相似性similarity = cosine_similarity(features1.flatten().reshape(1, -1), features2.flatten().reshape(1, -1))[0][0]return similarity

公式匹配模块：

使用LaTeX解析器将公式解析成结构化的数据，然后比较两个公式的结构相似性。

# 使用适当的LaTeX解析库导入模型和相关功能
from sympy import Eq, latex, simplify, symbols
from sympy.parsing.latex import parse_latexdef calculate_formula_similarity(formula1, formula2):# 解析LaTeX公式expr1 = parse_latex(formula1)expr2 = parse_latex(formula2)# 简化表达式simplified_expr1 = simplify(expr1)simplified_expr2 = simplify(expr2)# 比较两个公式的相似性similarity = float(simplified_expr1.equals(simplified_expr2))return similarity

模型整合：

将以上三个模块整合为一个综合的抄袭检测模型：

class PlagiarismDetectionModel:def __init__(self, text_weight, image_weight, formula_weight):self.text_weight = text_weightself.image_weight = image_weightself.formula_weight = formula_weightdef detect_plagiarism(self, text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2):# 计算各模块相似性text_similarity = calculate_text_similarity(text1, text2)image_similarity = calculate_image_similarity(image_path1, image_path2)formula_similarity = calculate_formula_similarity(formula1, formula2)# 综合得分total_score = self.text_weight * text_similarity + self.image_weight * image_similarity + self.formula_weight * formula_similarity# 返回结果return total_score

消融实验

消融实验是为了评估模型中各个组成部分的重要性，通常通过逐步移除某个组件并观察模型性能的变化来进行。在抄袭检测模型中，我们可以进行消融实验以评估文本、图像和公式模块对整体抄袭检测性能的贡献。

以下是一个简单的消融实验示例，假设我们有一个包含文本、图像和公式的抄袭检测模型，我们分别对这三个模块进行消融实验：

class AblationExperiment:def __init__(self, model):self.model = modeldef text_ablation(self, text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2):# 移除文本模块self.model.text_weight = 0total_score = self.model.detect_plagiarism(text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2)return total_scoredef image_ablation(self, text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2):# 移除图像模块self.model.image_weight = 0total_score = self.model.detect_plagiarism(text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2)return total_scoredef formula_ablation(self, text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2):# 移除公式模块self.model.formula_weight = 0total_score = self.model.detect_plagiarism(text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2)return total_score

在这个示例中，我们创建了一个AblationExperiment类，该类允许我们分别移除文本、图像和公式模块，然后检查模型性能的变化。

plagiarism_model = PlagiarismDetectionModel(text_weight=0.5, image_weight=0.3, formula_weight=0.2)
experiment = AblationExperiment(plagiarism_model)# 示例文本、图像和公式
example_text1 = ""
example_text2 = ""
example_image_path1 = "path/to/image1.jpg"
example_image_path2 = "path/to/image2.jpg"
example_formula1 = "a = b + c"
example_formula2 = "x = y * z"# 消融实验：移除文本模块
text_ablation_score = experiment.text_ablation(example_text1, example_text2, example_image_path1, example_image_path2, example_formula1, example_formula2)# 消融实验：移除图像模块
image_ablation_score = experiment.image_ablation(example_text1, example_text2, example_image_path1, example_image_path2, example_formula1, example_formula2)# 消融实验：移除公式模块
formula_ablation_score = experiment.formula_ablation(example_text1, example_text2, example_image_path1, example_image_path2, example_formula1, example_formula2)# 打印结果
print(f"移除文本模块后得分: {text_ablation_score}")
print(f"移除图像模块后得分: {image_ablation_score}")
print(f"移除公式模块后得分: {formula_ablation_score}")

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