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B 题整体模型构建
1. 潜水器动力系统失效：模型需要考虑潜水器在无推进力情况下的行为。
2. 失去与主船通信：考虑无法从主船接收指令或发送位置信息的情况。
3. 中性浮力和海底定位：潜水器可能位于海底或达到水下某个中性浮力点。 4. 水流和海水密度变化：影响潜水器位置的环境因素。
5. 海底地理：海底的地形可能会影响潜水器的最终位置或移动路径。
数学模型和公式
为预测潜水器的位置，我们可以建立基于物理学原理的动态模型，考虑力学和流体动力 学的因素。以下是潜水器运动的基本方程：
动力学方程
设潜水器的质量为 mm ，受到的浮力为 FbF_b ，重力为 FgF_g ，水流对潜水器施加 的力为 FcF_c ，潜水器在水中的阻力为 F_d ，则潜水器的运动方程可表示为：
md2r→dt2=Fb→+Fg→+Fc→− Fd→ m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{F_b} + \vec{F_g} + \vec{F_c} - \vec{F_d}
其中， r →\vec{r} 是潜水器的位置向量， tt 是时间。
mm ：潜水器的质量
Fb→\vec{F_b} ：浮力，方向向上
Fg→=m ⋅ g\vec{F_g} = m \cdot g ：重力，方向向下， gg 是重力加速度
Fc→\vec{F_c} ：水流对潜水器的作用力，方向依赖于水流方向
Fd→\vec{F_d} ：阻力，方向与潜水器运动方向相反，大小可以用 Fd=12ρv2CdAF_d =
\frac{1}{2} \rho v^2 C_d A 来估计，其中 ρ\rho 是水的密度， vv 是潜水器相对于水的速 度， CdC_d 是阻力系数，$A$ 是潜水器迎水面积
潜水器浮力和阻力的计算
浮力 FbF_b 可以通过潜水器排水量和水的密度来计算，阻力 FdF_d 可以根据潜水器的 形状、表面粗糙度和运动速度来估算。
数值解法
潜水器的运动方程是一个二阶微分方程，我们可以采 用数值方法（如欧拉方法或龙格-库塔方法）对其进行求解，得到潜水器随时间变化的 位置和速度。
模型假设
. 潜水器被视为质点，忽略其尺寸和形状的影响。
. 假设水流速度和方向是已知的，可以从海洋流动模型获得。
. 海底地形对潜水器运动的影响通过调整浮力和阻力参数来模拟。
通过上述模型和方法，我们可以预测在不同情况下潜水器的位置，为 MCMS 制定安全程 序提供科学依据。
为了解决上述复杂的数学建模问题，我们将问题分解为四个主要部分：定位、准备、搜 索和外推。下面是针对每个部分的详细分析和数学模型。
定位
模型构建
. 基于多传感器融合的动态预测模型：利用卡尔曼滤波（Kalman Filter）或扩展卡尔曼滤波 （Extended Kalman Filter, EKF）来整合来自潜水器内部（如 IMU 传感器）和外部（如声纳、 GPS 浮标）的多源信息，预测潜水器随时间变化的位置。
数学公式
假设潜水器的状态为 x →t= [xt,yt,zt,x˙t,y˙t,z˙t]T\vec{x}_t = [x_t, y_t, z_t, \dot{x}_t, \dot{y}_t, \dot{z}_t]^T ，
其中 xt,yt,ztx_t, y_t, z_t 表示潜水器在三维空间中的位置，
x˙t,y˙t,z˙t\dot{x}_t, \dot{y}_t, \dot{z}_t 表示对应的速度。
卡尔曼滤波的预测和更新步骤如下：
. 预测步骤： x →t |t− 1=F →tx→t− 1 |t− 1+B→tu→t \vec{x}_{t |t- 1} = \vec{F}_t \vec{x}_{t- 1 |t- 1} + \vec{B}_t \vec{u}_t P →t |t− 1=F →tP→t− 1 |t− 1F→tT+Q→t \vec{P}_{t |t- 1} = \vec{F}_t \vec{P}_{t- 1 |t- 1} \vec{F}_t^T + \vec{Q}_t
. 更新步骤： K →t=P →t |t− 1H→tT(H→tP→t |t− 1H→tT+R→t)−1 \vec{K}_t = \vec{P}_{t|t- 1} \vec{H}_t^T (\vec{H}_t \vec{P}_{t |t- 1} \vec{H}_t^T + \vec{R}_t)^{- 1} x →t |t=x →t |t− 1+K→t(z →t− H →tx→t |t− 1) \vec{x}_{t |t} = \vec{x}_{t |t- 1} + \vec{K}_t (\vec{z}_t - \vec{H}_t \vec{x}_{t |t- 1}) P→t |t=(I− K →tH→t)P→t |t− 1 \vec{P}_{t |t} = (I - \vec{K}_t \vec{H}_t) \vec{P}_{t |t- 1}
其中， F →t\vec{F}_t 是状态转移矩阵， B →t\vec{B}_t 是控制输入矩阵， u →t\vec{u}_t 是外部控制输入，P →t\vec{P}_t 是估计误差协方差，Q→t\vec{Q}_t 是过程噪声协方差， H →t\vec{H}_t 是观测模型矩阵， R →t\vec{R}_t 是观测噪声协方差， K →t\vec{K}_t 是卡 尔曼增益， z →t\vec{z}_t 是实际观测值。
不确定性分析
. 主要的不确定性来源包括传感器噪声、模型误差、外部环境（如水流变化和海底地形）的未 知性。蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）可用于评估这些不确定性对预测准确性的影 响。