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λ-矩阵知识点

news 来源：原创 2024/5/9 20:18:55

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λ-矩阵

矩阵的秩

定义. 若矩阵 $\mathbf{A}$ 的元素为关于 $λ$ 的多项式，则称 $\mathbf{A}$ 为 $λ$ -矩阵 (表示为 $\mathbf{A}(λ)$ ).

$\lambda$ -矩阵也存在秩、初等变换、相抵、逆等概念, 但是有一些不同.

定义. $\lambda$ -矩阵的秩是指最高阶非零子式的阶数. 对于方阵而言, 若秩等于阶数, 则称其为满秩的.

定理. 方阵满秩的充要条件是行列式非零.

定义. $\lambda$ -矩阵的初等行变换是指由以下3种行操作构成的矩阵变换: ① 交换两行; ② 数乘行; ③ 一行乘以 $\psi(\lambda)$ 倍加到另一行，其中 $\psi(\lambda)$ 是以 $\lambda$ 为变元的多项式. 类似地定义初等列变换. 由初等行变换和初等列变换构成的矩阵变换称为初等变换.

可以看出, 初等行/列变换仅③和常数矩阵不同, 乘以常数换成了乘以多项式.

定义. 若一个 $\lambda$ -矩阵可经有限次初等变换得到另一个 $\lambda$ -矩阵, 则称两个矩阵相抵.

定理. 初等变换不改变 $\lambda$ -矩阵的秩, 即相抵的 $\lambda$ -矩阵一定等秩.

但是等秩的矩阵不一定相抵, 如
$A_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, A_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
秩都为2但不相抵 (显然, 二者的Smith标准形为自身, 但并不相等, 因此二者不相抵).

定理. 满秩方阵相抵的充要条件是行列式差一个非零常系数. (证明需借助Smith标准形的有关知识)

矩阵的逆

定义. 对于方阵 $\bm A(\lambda)$ , 若存在方阵 $\bm B(\lambda)$ , 使得 $\bm A(\lambda) \bm B(\lambda)=\bm B(\lambda)\bm A(\lambda)=\bm I$ , 则称 $\bm A(\lambda)$ 为可逆阵, $\bm B(\lambda)$ 为 $\bm A(\lambda)$ 的逆矩阵.

类似常数矩阵, 有如下定理:

定理. $λ$ -矩阵可逆的充要条件是行列式为非零常数.

由此可知: $λ$ -矩阵可逆一定满秩，但满秩不一定可逆.

定理. 对于 $n$ 阶 $λ$ -矩阵 $\bm A(\lambda)$ , 若存在 $n$ 阶 $λ$ -矩阵 $\bm B(\lambda)$ , 满足 $\bm A(\lambda) \bm B(\lambda)=\bm{I}$ 或 $\bm B(\lambda) \bm A(\lambda)=\bm{I}$ , 则 $\bm A(\lambda)$ 是可逆的, 且其逆矩阵为 $\bm B(\lambda)$ .

定理. 方阵可逆的充要条件是相抵于单位阵. (证明需借助Smith标准形的知识)

证明: $n$ 阶 $\lambda$ -矩阵 $\mathbf{A}(\lambda)$ 可逆 $\iff$ 其行列式为非零常数 $\iff$ 其满秩且 $n$ 阶行列式因子为 $1$ $\iff$ 其 Smith 标准形为单位阵.

定理. 对 $\mathbf{A}(\lambda)$ 作初等行变换 $\phi$ 相当于左乘可逆阵 $\phi(I)$ , $\mathbf{A}(\lambda)$ 作初等列变换 $\psi$ 相当于右乘可逆阵 $\psi(I)$ .

推论. $\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $\mathbf{A}(\lambda)$ 相抵于 $\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $\mathbf{B}(\lambda)$ $\Rightarrow$ 存在 $m$ 阶可逆阵 $\mathbf{P}(\lambda)$ 和 $n$ 阶可逆阵 $\mathbf{Q}(\lambda)$ , 使得: $\mathbf{P}(\lambda)\mathbf{A}(\lambda) \mathbf{Q}(\lambda)=\mathbf{B}(\lambda)$ .