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2024牛客寒假算法基础集训营4

news 来源：原创 2024/5/9 12:53:19

D.守恒

阿宁有一个长度为 n 正整数数组 a。
可以进行任意次操作，每次操作选择数组 a 的两个元素，其中一个加 1，另一个减 1，要求每次操作后 a 的各元素仍然是正整数。
阿宁想知道操作结束后，数组的最大公约数可能有多少种不同的值？

数组的最大公约数指，该数组的所有数共有约数中最大的那个数。
例如数组 [20,12,16]，共有的约数有 1,2,4，最大的数是 4，因此 [20,12,16] 的最大公约数是 4。

输入
第一行输入一个整数 n （1 ≤ n ≤ 2e5）。
第二行输入 n 个整数 ai （1 ≤ ai ≤ 2e5）。

输出
输出一个整数。

Input
3
2 4 8

Output
2

解析：
因为加一减一，和是不变的。
假设这些数的和是sum，这道题的本质上就是求，在sum的因子中，有多少个因子能把sum分解的个数是大于等于 n 个的。
当然，当 n=1时，要特判一下。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair<int,int> PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=2e5+10;
int n;
int a[N];
void solve()
{cin>>n;int sum=0;for (int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],sum +=a[i];if (n==1){cout<<1;return ;}int cnt=0;for (int i=1;i<=sum/i;i++){if (sum%i==0){if (i*i==sum){if (sum/i>=n) cnt++;}else {if (sum/i>=n) cnt++;if (i>=n) cnt++;}}}cout<<cnt;
}
signed main()
{ios;int T=1;//cin>>T;while (T--) solve();return 0;
}

E.漂亮数组

阿宁认为一个数组是漂亮数组，该数组需要存在一个总和是 k 的倍数的子数组。
现在阿宁有一个长度为 n 的数组 a，阿宁想要将数组 a 分割出若干个数组。
分割出的数组需要满足，按照分割顺序合并可以得到原数组a。
阿宁想知道将数组 a 分割，最多可以获得多少个漂亮数组？

输入
第一行输入两个整数 n,k (1 ≤ n ≤ 2e5,1 ≤ k ≤ 1e9)。
第二行输入 n 个整数 ai (1 ≤ ai ≤1e9)。

输出
输出一个整数。

Input
6 3
1 1 4 5 1 4

Output
2

解析：
贪心，对于 i 找它的左边离他最近的 j 使 [j,i] 的和为 k 的倍数。
前往后遍历，如果（从上个割点开始的）前缀和对 k 的余数，在位置 j 和位置 i 的相同，说明区间 [j+1,i]的和能整除 k ，(其中 j<i)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair<int,int> PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=510;
set <int> s;
int n,k;
void solve()
{cin>>n>>k;int x,sum=0;s.insert(0);int cnt=0;for (int i=1;i<=n;i++){cin>>x;sum +=x;if (s.count(sum%k)) cnt++,sum=0,s.clear(),s.insert(0);else s.insert(sum%k);}cout<<cnt;
}
signed main()
{ios;int T=1;//cin>>T;while (T--) solve();return 0;
}

G.数三角形(easy)

阿宁认为一个大小为 x 的等腰三角形底边长度是 2×x+1，高是 x+1。
等腰三角形不可以旋转，并且形态只能是下面举例的形态。
以下分别是 1,2,3 的等腰三角形：

在一个字符矩阵中，三角形可以共用 '*'。因此上述举例中，大小为 2 和大小为 3 的三角形，都有两个大小为 1 的三角形。
现在给出一个 n 行 m 列的仅包含 '*' 和 '.' 的矩阵，阿宁想要数一下有多少个满足要求的等腰三角形？

输入
第一行输出两个整数 n,m (1 ≤ n,m ≤ 500)，表示字符矩阵大小。
接下 n 行，每行 m 个字符，表示所给的矩阵。字符仅包含 '*' 和 '.'。

输出
输出一个整数，表示等腰三角形的数量。

Input1
3 5
..*..
.*.*.
*****

Output1
3

Input2
3 5
..*..
.***.
*****

Output2
5

解析：
枚举三角形的最上面那个点，然后用一个前缀和来看下面是否有一条线。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
int gcd(int a,int b) { return b? gcd(b,a%b) : a; }
typedef pair<int,int> PII;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=510;
char g[N][N];
int s[N][N];
int n,m;
void solve()
{cin>>n>>m;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=m;j++)cin>>g[i][j];for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=m;j++){s[i][j]=s[i][j-1];if (g[i][j]=='*') s[i][j]++;}int cnt=0;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=m;j++){if (g[i][j]=='*'){int k=i+1,l=j-1,r=j+1;while (k<=n&&l>=1&&r<=m&&g[k][l]=='*'&&g[k][r]=='*') {if (s[k][r]-s[k][l-1]==r-l+1) cnt++;k++,l--,r++;}}}cout<<cnt;
}
signed main()
{ios;int T=1;//cin>>T;while (T--) solve();return 0;
}