数学建模：BP神经网络（含python实现）

原理

  BP 神经网络，也称为多层感知机（Multilayer Perceptron，MLP），是一种常见的神经网络模型，用于解决各种机器学习问题，包括分类和回归。BP 代表“反向传播”（Backpropagation），这是该模型训练的关键算法。
  BP 神经网络由多个神经元组成，通常分为输入层、隐藏层和输出层。每个神经元都与前一层的每个神经元相连，并且具有权重，用于调整信号的传递和计算。BP 神经网络的原理基于前向传播和反向传播两个关键步骤。
  前向传播是在前向传播过程中，输入信号从输入层传递到隐藏层和输出层，每个神经元将其输入与权重相乘并应用激活函数来产生输出。这个过程一直持续到达输出层，生成网络的预测结果。输入层到隐藏层公式:$$z_j=\sum _{i=1}^n{w}_{ji}^{(1)}{x}_i$$$${\alpha }_j=f(z_j)$$  输入层到隐藏层公式：$$z_k=\sum _{j=1}^m{w}_{ki}^{(2)}{\alpha }_j$$$${\alpha }_k=f(z_k)$$  其中，$z_j$和$z_k$分别表示隐藏层和输出层神经元的加权输入，${\alpha }_j$和${\alpha }_k$表示它们的激活输出，𝑤是权重，𝑥是自变量，𝑓是激活函数。
  反向传播是在反向传播过程中，网络的输出与实际目标进行比较，以计算误差。然后，误差通过网络反向传播，根据链式规则，将误差分配给每个神经元，并根据误差调整权重，以减小误差。这个过程重复进行多次，直到误差收敛到满意的水平或达到预定的训练轮次。其公式如下：$$\Delta w_{kj}^{(2)}=-\eta \frac{\partial E}{\partial w_{kj}^{(2)}}$$$$\Delta w_{ji}^{(1)}=-\eta \frac{\partial E}{\partial w_{ji}^{(1)}}$$  其中，其中，𝜂是学习率，∂𝐸，∂𝑤表示误差关于权重的偏导数。误差计算中通常使用均方误差（Mean Squared Error，MSE）作为误差函数：$$E=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^p(t_k-{\alpha }_k{)}^2$$  其中，$t_k$是目标输入，${\alpha }_k$是网络的实际输出。
  BP神经网络结构：

代码

多层感知机实际上就是多层全连接网络构成的网络，一个示例代码：

import tensorflow as tf
from tensorflow import keras# 定义模型
model = keras.Sequential([keras.layers.Dense(64, activation='relu', input_shape=(X.shape[1],)),keras.layers.Dense(32, activation='sigmoid'),keras.layers.Dense(1, activation='sigmoid')
])
# model.compile(optimizer='adam', loss='binary_crossentropy', metrics=['accuracy'])
# model.fit(X_train, Y_train, epochs=100, batch_size=32, validation_split=0.05)
# odel = keras.Sequential([
#     keras.layers.Dense(128, activation='relu', input_shape=(X.shape[1],)),
#     keras.layers.Dense(64, activation='sigmoid'),
#     keras.layers.Dense(32, activation='relu'),
#     keras.layers.Dense(16, activation='sigmoid'),
#     keras.layers.Dense(8, activation='relu'),
#     keras.layers.Dense(1, activation='sigmoid')
# ])model.compile(optimizer='adam', loss='binary_crossentropy', metrics=['accuracy'])
# 模型训练
history=model.fit(X_train, Y_train, epochs=60, batch_size=32, validation_split=0.5)

# 模型评估
test_loss, test_accuracy = model.evaluate(X_test, Y_test)
print(f'Test accuracy: {test_accuracy}')
# 使用表1的所有行进行水肿概率的预测
# all_predictions = model.predict(X2)
# all_predictions

可视化：

import pandas as pd
df = pd.DataFrame(all_predictions, columns=["Value"])# 保留4位小数
df["Value"] = df["Value"].round(4)# 将DataFrame保存为Excel文件
df.to_excel("output4.xlsx", index=False)import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
# 训练过程中损失的历史记录
loss = history.history['loss']
val_loss = history.history['val_loss']# 训练过程中性能指标的历史记录
accuracy = history.history['accuracy']
val_accuracy = history.history['val_accuracy']# 绘制损失曲线
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(loss, label='训练集误差')
plt.plot(val_loss, label='验证集误差')
plt.xlabel('训练次数')
plt.ylabel('误差')
plt.legend()
plt.title('误差曲线')# 绘制性能指标曲线
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(accuracy, label='训练集准确率')
plt.plot(val_accuracy, label='验证集准确率')
plt.xlabel('训练次数')
plt.ylabel('准确率')
plt.legend()
plt.title('准确率曲线')
plt.savefig('神经网络训练过程图.png',dpi=300)
plt.show()

from sklearn.metrics import roc_curve, roc_auc_score
# 计算ROC曲线的参数
fpr, tpr, thresholds = roc_curve(Y, all_predictions)# 计算AUC-ROC
roc_auc = roc_auc_score(Y,all_predictions)# 绘制ROC曲线
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(fpr, tpr, color='orange', label=f'AUC = {roc_auc:.2f}')
plt.plot([0, 1], [0, 1], color='blue',linestyle='--')
plt.xlim([0.0, 1.0])
plt.ylim([0.0, 1.0])
plt.xlabel('假正例率(FPR)')
plt.ylabel('真正例率(TPR)')
plt.title('BP神经网络ROC Curve')
plt.legend(loc='lower right')
plt.savefig('神经网络roc.png',dpi=300)
plt.show()