算法：位运算问题和概率问题
位运算问题
位运算是一种在数字的二进制表示上执行的操作。它们是底层编程的基础，对于优化算法非常有用。位运算包括AND（&）、OR（|）、XOR（^）、NOT（~）、左移（<<）和右移（>>）。这些操作直接在数字的位级表示上进行，因此运行速度非常快。
常见的位运算技巧：
- 检查奇偶性：
x & 1如果结果为1，则x是奇数，否则为偶数。 - 交换两个数：
x ^= y; y ^= x; x ^= y;，这样可以不使用临时变量交换x和y的值。 - 移除最后一个1：
x = x & (x - 1)，这个操作可以用来计算一个数中1的数量。 - 获取最后一个1：
x & -x，这可以用于解决很多问题，比如构建树状数组。
概率问题
概率问题在算法中主要关注于如何计算或估计在某些条件下事件发生的概率。解决概率问题通常需要使用概率论的知识，包括但不限于期望值、方差、独立事件的概率计算等。
解决概率问题的一些常见方法：
- 计数法：直接计算满足条件的情况数与总情况数的比值。
- 期望值：计算一个随机变量的期望值，即其平均可能值。
- 动态规划：对于一些复杂的概率问题，可以通过动态规划方法递推求解。
- 蒙特卡洛方法：通过随机采样的方式估计可能的概率。这种方法适用于直接计算极为复杂，但可以容易地通过模拟得到近似结果的问题。
例子
位运算例子：判断是否为2的幂
def isPowerOfTwo(x):return x > 0 and (x & (x - 1)) == 0
这个函数通过检查x是否只有一个1（2的幂次方数在二进制表示中只有一个1），来判断x是否为2的幂。
概率问题例子：掷骰子
问题：掷两个六面骰子，求两个骰子点数和为7的概率。
解法：一共有36种可能的结果（每个骰子有6种可能，总共是6*6=36）。和为7的组合有(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)共6种。所以概率为6/36 = 1/6。
位运算和概率问题在算法竞赛、面试以及实际编程中都非常重要。理解并掌握这些概念，能够帮助你更有效地解决问题。