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AVL 树

news 来源：原创 2024/5/20 3:47:52

AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年
发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

节点的平衡因子=右子树的高度-左子树的高度

例如：
下图的二叉搜索树的每个节点的平衡因子的绝对值都小于2，并且每个节点的子树也都是AVL树
在这里插入图片描述

AVL树的定义

AVL树是一种特殊的二叉搜索树，它具有高度的平衡，所以为了在插入过程中的各个节点的平衡因子的更新，我们在定义AVL树的节点结构的同时要带上一个节点的双亲结点parent

template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _left;   // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _right;  // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _parent; // 该节点的双亲T _data;int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

AVL树的插入

AVL树的插入是一个难点，它分为好几种情况，其实AVL树的插入也就是在二叉搜索树中插入新节点，但是由于他引入了平衡因子，需要更新，所以这里的插入节点就比较麻烦，她一共分为两步：

1 插入节点
2 更新节点的平衡因子

为什么要更新节点的平衡因子呢？

简单地举个例子：
如图所示，我将一个新节点插入0的左孩子节点的位置，那么以3为节点的这颗子树的高度差不就会超过1了吗，他的左子树的高度插入新节点后为3，而右子树为1，这就不符合AVL树的性质了，所以我们需要经过一些操作来更新平衡因子
在这里插入图片描述

这里大家需要注意一个规则：
新节点如果是插入后他的parent的左侧，那么他的平衡因子默认是+1
反之插入他的右侧就是默认-1

那么在插入节点后，各个插入节点的parent一共就有三种情况了：

平衡因子为0
如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功

平衡因子为正负1
如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新，防止部分节点的左右子树高度差超过1
平衡因子为正负2
如果parent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理，旋转处理之后插入成功

至于旋转的情况我们待会分析，我们先将插入节点的代码的主要框架构造出来：
这样一个简单的框架就构造出来了

template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<T>* _left;   // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _right;  // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _parent; // 该节点的双亲T _data;int _bf;                  // 该节点的平衡因子AVLTreeNode(const T& data): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _data(data), _bf(0){}
};
template<class T>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:bool insert(const T& data){if (_root == nullptr){_root = new Node(data);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_data < data){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_data > data){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}cur = new Node(data);if (parent->_data > data){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}while (parent){//左边++if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}//右边--else{parent->_bf++;}//parent的平衡因子等于0，插入成功if (parent->_bf == 0){break;}//parent的平衡因子等于1或者-1，继续向上更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//需要进行旋转}else{assert(false);}}}}private:Node* _root;
};

下面我们就具体分析几种旋转的情况

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
下图中的h可以时0 1 2三种，分别代表了这三个子树的高度，无论他是等于0 1 还是2时他们都可以满足AVL树的要求
在这里插入图片描述
可以看到，这种情况就是parent的平衡因子等于-2，cur的平衡因子等于-1
左旋函数如下：

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;//防止sublr为空if(subLR)subLR->_parent = parent;//记录祖父位置Node* pparent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//如果父亲是根节点if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}//parent不是根节点，那么祖父就会成为subl的parentelse{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subL;subL->_parent = pparent;}else{pparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}}//旋转后parent和subl的 平衡因子都会更新为0parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
实现及情况考虑可参考右单旋。
在这里插入图片描述

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* pparent = parent->_parent;if (subRL)subRL->_parent = parent;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent == nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;subR->_parent = pparent;}else{pparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
在这里插入图片描述
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
直接复用即可：
由于博主能力有限，所以放入代码大家仔细理解

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);int bf = subLR->_bf;//sublr就是新增节点if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}//sublr左子树新增节点else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}//sublr右子树新增节点else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
在这里插入图片描述

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);//subrl这个点为新增点if (bf == 0){parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}//subrl的左子树新增else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}//subrl的右子树新增else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

根据各种情况我们做了总结：

假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR，当subR的平衡因子为1时，执行左单旋当subR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为subL，当subL的平衡因子为-1是，执行右单旋，当subL的平衡因子为1时，执行左右双旋旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

所以我们可以补全上面的插入节点的代码了：

bool insert(const T& data)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(data);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_data < data){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_data > data){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(data);if (parent->_data > data){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}while (parent){//左边++if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}//右边--else{parent->_bf++;}//parent的平衡因子等于0，插入成功if (parent->_bf == 0){break;}//parent的平衡因子等于1或者-1，继续向上更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//需要进行旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;
}

AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确

我们可以用一个函数来判断即可：
首先要有一个计算树的高度的函数
然后判断他们的子树的高度差的绝对值是否在2以内，并且他们的子树也要是AVL树

int Height(Node* root)
{if (root == nullptr){return 0;}int leftheight = Height(root->_left);int rightheight = Height(root->_right);return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1;
}bool isbalance()
{return _isbalance(_root);
}bool _isbalance(Node* root)
{if (root == nullptr)return true;int leftheight = Height(root->_left);int rightheight = Height(root->_right);if (rightheight - leftheight != root->_bf){cout << root->_data << "平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(rightheight - leftheight) < 2&& _isbalance(root->_left)&& _isbalance(root->_right);
}

我们还可以用中序遍历打印：

void inorder()
{_inorder(_root);cout << endl;
}void _inorder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}_inorder(root->_left);cout << root->_data << " ";_inorder(root->_right);
}

在这里插入图片描述
完整代码如下：

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<T>* _left;   // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _right;  // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _parent; // 该节点的双亲T _data;int _bf;                  // 该节点的平衡因子AVLTreeNode(const T& data): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _data(data), _bf(0){}
};
template<class T>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:bool insert(const T& data){if (_root == nullptr){_root = new Node(data);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_data < data){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_data > data){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(data);if (parent->_data > data){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}while (parent){//左边++if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}//右边--else{parent->_bf++;}//parent的平衡因子等于0，插入成功if (parent->_bf == 0){break;}//parent的平衡因子等于1或者-1，继续向上更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//需要进行旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;//防止sublr为空if(subLR)subLR->_parent = parent;//记录祖父位置Node* pparent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//如果父亲是根节点if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}//parent不是根节点，那么祖父就会成为subl的parentelse{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subL;subL->_parent = pparent;}else{pparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}}//旋转后parent和subl的 平衡因子都会更新为0parent->_bf = subL->_bf = 0;}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* pparent = parent->_parent;if (subRL)subRL->_parent = parent;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent == nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;subR->_parent = pparent;}else{pparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}}parent->_bf = subR->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);int bf = subLR->_bf;//sublr就是新增节点if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}//sublr左子树新增节点else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}//sublr右子树新增节点else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);//subrl这个点为新增点if (bf == 0){parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}//subrl的左子树新增else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}//subrl的右子树新增else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}}int Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftheight = Height(root->_left);int rightheight = Height(root->_right);return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1;}bool isbalance(){return _isbalance(_root);}bool _isbalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftheight = Height(root->_left);int rightheight = Height(root->_right);if (rightheight - leftheight != root->_bf){cout << root->_data << "平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(rightheight - leftheight) < 2&& _isbalance(root->_left)&& _isbalance(root->_right);}void inorder(){_inorder(_root);cout << endl;}void _inorder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_inorder(root->_left);cout << root->_data << " ";_inorder(root->_right);}private:Node* _root=nullptr;
};

好了，今天的分享到这里就结束了，感谢大家的支持！