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矩阵消元-MIT

news 来源：原创 2024/5/13 6:47:16

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  • 1. 行变换消元法,XA 左乘行变换

1. 行变换消元法,XA 左乘行变换

  • 假设我们有一个方程组表示如下：
    x + 2 y + z = 2 ; 3 x + 8 y + z = 12 ; 4 y + z = 2 (1) x+2y+z=2;\quad 3x+8y+z=12;\quad4y+z=2\tag{1} x+2y+z=2;3x+8y+z=12;4y+z=2(1)
  • 矩阵表示如下：
    [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] → [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] → [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] (2) \begin{bmatrix}1&2&1\\\\3&8&1\\\\0&4&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&4&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&0&5\end{bmatrix}\tag{2} ​130​284​111​ ​→ ​100​224​1−21​ ​→ ​100​220​1−25​ ​(2)
  • 矩阵右乘AX列变换，矩阵左乘XA行变换
  • 第一行乘以-3 加到第二行，矩阵表示如下：
    [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] (3) \begin{bmatrix}1&0&0\\\\-3&1&0\\\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\\\3&8&1\\\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&4&1\end{bmatrix}\tag{3} ​1−30​010​001​ ​ ​130​284​111​ ​= ​100​224​1−21​ ​(3)
  • 第二行乘以-2 加到第三行，矩阵表示如下：
    [ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] (4) \begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&0&5\end{bmatrix}\tag{4} ​100​01−2​001​ ​ ​100​224​1−21​ ​= ​100​220​1−25​ ​(4)
  • 小结：可以用矩阵形式表示消元如下：
    [ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] (5) \begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\\\-3&1&0\\\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\\\3&8&1\\\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&0&5\end{bmatrix}\tag{5} ​100​01−2​001​ ​ ​1−30​010​001​ ​ ​130​284​111​ ​= ​100​220​1−25​ ​(5)
  • 上述矩阵转换成方程组可得：
    x + 2 y + z = 2 2 y − 2 z = 6 5 z = − 10 (6) \begin{aligned}x+2y+z=2\\\\2y-2z=6\\\\5z=-10\end{aligned}\tag{6} x+2y+z=22y−2z=65z=−10​(6)
  • 得出结果如下:
    x = 2 ; y = 1 ; z = − 2 (7) x=2;\quad y=1\quad ;z=-2\tag{7} x=2;y=1;z=−2(7)
  • 小结
    A X = b → 表示的是矩阵 A 的列向量通过 X 进行右乘列变换求和得到 b (8) AX=b\rightarrow 表示的是矩阵A的列向量通过 X 进行右乘列变换求和得到b\tag{8} AX=b→表示的是矩阵A的列向量通过X进行右乘列变换求和得到b(8)
    Y A = c → 表示的是矩阵 A 的行向量通过 Y 进行左乘行变换求和得到 c (9) YA=c\rightarrow 表示的是矩阵A的行向量通过 Y 进行左乘行变换求和得到c\tag{9} YA=c→表示的是矩阵A的行向量通过Y进行左乘行变换求和得到c(9)

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