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椭圆的几何要素

news 来源：原创 2024/9/29 6:21:11

椭圆的几何要素

flyfish
在这里插入图片描述

椭圆的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 。
长半轴 $a$ （绿色虚线）和短半轴 $b$ （紫色虚线）。
焦点 $F 1 (- c, 0)$ （红色点）和 $F 2 (c, 0)$ （蓝色点），焦距 $c$ （黄色虚线）。

假设我们有一个椭圆，其长轴长度为 $2 a$ ，短轴长度为 $2 b$ ，两个焦点分别位于 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$ 。根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数，并且等于长轴的长度。考虑椭圆上的顶点 $(a, 0)$ 和 $(- a, 0)$ ：

点 $(a, 0)$ 到两个焦点的距离分别为 $\sqrt{(a + c)^2 + 0^2}$ 和 $\sqrt{(a - c)^2 + 0^2}$ ，因此有：
$\sqrt{(a + c)^2} + \sqrt{(a - c)^2} = 2a$

$(a + c) + (a - c) = 2 a$

为什么 $c^2 = a^2 - b^2$

对于椭圆上的任意一点 $P (x, y)$ ，到两个焦点的距离之和是常数，并且等于椭圆的长轴长度 $2 a$ $。即
$d(P, F_1) + d(P, F_2) = 2a$
其中 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$ 。设 $P (x, y)$ 是椭圆上的任意一点，根据距离公式：
$F_1) = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$
$F_2) = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$ 根据椭圆的定义：
$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a$
考虑椭圆上的另一点 $(0, b)$ ： $(x = 0, y = b)$

点 $(0, b)$ 到两个焦点的距离分别为
$\sqrt{(-c)^2 + b^2}$
$\sqrt{c^2 + b^2}$ ，根据椭圆的定义，有：
$\sqrt{c^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + b^2} = 2a$

$2\sqrt{c^2 + b^2} = 2a$

$\sqrt{c^2 + b^2} = a$

两边平方：
$c^2 + b^2 = a^2$

因此，得出结论：
$c^2 = a^2 - b^2$
上图的代码

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 椭圆的长半轴 a 和短半轴 b
a = 5
b = 3
# 计算焦距 c
c = np.sqrt(a**2 - b**2)# 创建一个椭圆
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)
x = a * np.cos(theta)
y = b * np.sin(theta)# 焦点坐标
F1 = (-c, 0)
F2 = (c, 0)# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘制椭圆
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(x, y, label=r'$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$')
plt.scatter(*F1, color='red', label='焦点 F1(-c, 0)')
plt.scatter(*F2, color='blue', label='焦点 F2(c, 0)')# 标注长半轴 a 和短半轴 b
plt.plot([0, a], [0, 0], 'g--', label='长半轴 a')
plt.plot([0, 0], [0, b], 'm--', label='短半轴 b')
plt.plot([0, -a], [0, 0], 'g--')
plt.plot([0, 0], [0, -b], 'm--')# 标注焦距 c
plt.plot([0, c], [0, 0], 'y--', label='焦距 c')
plt.plot([0, -c], [0, 0], 'y--')# 添加图例
plt.legend()# 设置图形范围
plt.xlim(-6, 6)
plt.ylim(-6, 6)
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt.title("椭圆及其几何要素")
plt.show()