OFDM中采样频率与带宽的关系
1、LTE中OFDM相关参数
在LTE系统中，基波频率和子载波间隔为15 kHz。在带宽为20 MHz的情况下，采用2048点的IFFT或FFT分别生成或接收OFDM符号。OFDM符号在频带上有2048个子载波，只有中间1200个子载波承载数据，两边的子载波作为保护带。一个OFDM符号要保证基波是一个完整周期，那么OFDM符号的符号周期为 1 15 kHz ≈ 66.67 μs \frac{1}{15~\text{kHz}}\approx66.67~\text{μs} 15 kHz1≈66.67 μs。在一个OFDM符号周期内有2048个采样点，采样频率为 15 kHz × 2048 = 30.72 MHz 15~\text{kHz} \times 2048=30.72~\text{MHz} 15 kHz×2048=30.72 MHz。LTE的基本时间单位为 T s = 1 30.72 μs T_\text{s} = \frac{1}{30.72}~\text{μs} Ts=30.721 μs
2、OFDM信号带宽分析
用30.72 MHz采样频率采样20 MHz带宽的信号似乎不满足奈圭斯特采样定理，其实问题出在了频带信号和基带信号的带宽上面。20 MHz带宽指的是OFDM符号经过上变频（上变频类似QAM调制，实部乘以余弦函数，虚部乘以正弦函数，再二者相减）后的双边带带宽。30.72 MHz采样频率指的是对OFDM基带信号的采样频率。抛开负频率和直流分量，只看正频率部分，基带信号有效的子载波为1024个，有效的带宽只有10 MHz。
下面用数学公式做简单分析：
首先定义几个符号，基波频率和子载波间隔均记为 f sub f_\text{sub} fsub， N N N既表示子载波数量也表示一个OFDM符号内的采样点数，采样频率为 f s = N f sub f_\text{s} = Nf_\text{sub} fs=Nfsub。
用IDFT生成OFDM基带信号的公式为（忽略了常数项系数） x [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 X [ k ] e j k 2 π N n , (1) x[n] = \sum^{N-1}_{k=0}X[k]e^{jk\frac{2\pi}{N}n}, \tag{1} x[n]=k=0∑N−1X[k]ejkN2πn,(1) 其中， X [ k ] X[k] X[k]表示用于调制正余弦波的QAM符号， k k k索引子载波频率， j j j为虚数单位， x [ n ] x[n] x[n]表示OFDM符号的第 n n n个采样点上的复数值， n = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 n = 0,1,\cdots, N-1 n=0,1,⋯,N−1。
用欧拉公式将复指数展开，公式(1)表示为 x [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 X [ k ] e j k 2 π N n = ∑ k = 0 N − 1 ( a [ k ] + j b [ k ] ) ( cos ( k 2 π N n ) + j sin ( k 2 π N n ) ) = ∑ k = 0 N − 1 ( a [ k ] cos ( k 2 π N n ) − b [ k ] sin ( k 2 π N n ) ) + j ( a [ k ] sin ( k 2 π N n ) + b [ k ] cos ( k 2 π N n ) ) . (2) \begin{aligned} x[n] &= \sum^{N-1}_{k=0}X[k]e^{jk\frac{2\pi}{N}n} \\ & = \sum^{N-1}_{k=0}(a[k]+jb[k])(\text{cos}(k\frac{2\pi}{N}n)+j\text{sin}(k\frac{2\pi}{N}n)) \\ & = \sum^{N-1}_{k=0}\left(a[k]\text{cos}(k\frac{2\pi}{N}n)-b[k]\text{sin}(k\frac{2\pi}{N}n)\right)+j\left(a[k]\text{sin}(k\frac{2\pi}{N}n)+b[k]\text{cos}(k\frac{2\pi}{N}n)\right). \end{aligned} \tag{2} x[n]=k=0∑N−1X[k]ejkN2πn=k=0∑N−1(a[k]+jb[k])(cos(kN2πn)+jsin(kN2πn))=k=0∑N−1(a[k]cos(kN2πn)−b[k]sin(kN2πn))+j(a[k]sin(kN2πn)+b[k]cos(kN2πn)).(2) 由公式(2)可知，公式(1)相当于用 X [ k ] X[k] X[k]作为参数来调制 k k k次余弦波和 k k k次正弦波。这里的IDFT不是用来做信号分析与处理，而是用于合并各次正交子载波。
基波频率为 f sub f_\text{sub} fsub， k k k次谐波频率为 k f sub kf_\text{sub} kfsub。当 k k k大于 N 2 \frac{N}{2} 2N时，采样频率 f s f_\text{s} fs将不再满足奈圭斯特采样定理。然而，我们处理的是离散数字信号，可以注意到： cos ( ( N − k ) 2 π N n ) = cos ( 2 π n − k 2 π N n ) = cos ( k 2 π N n ) , sin ( ( N − k ) 2 π N n ) = sin ( 2 π n − k 2 π N n ) = − sin ( k 2 π N n ) . \begin{aligned} & \text{cos}\left((N-k)\frac{2\pi}{N}n\right) \\ = &\text{cos}\left(2\pi n-k\frac{2\pi}{N}n\right) \\ = &\text{cos}(k\frac{2\pi}{N}n), \end{aligned} ~~~~~~~~~~~~~\begin{aligned} & \text{sin}\left((N-k)\frac{2\pi}{N}n\right) \\ = &\text{sin}\left(2\pi n-k\frac{2\pi}{N}n\right) \\ = &-\text{sin}(k\frac{2\pi}{N}n). \end{aligned} ==cos((N−k)N2πn)cos(2πn−kN2πn)cos(kN2πn), ==sin((N−k)N2πn)sin(2πn−kN2πn)−sin(kN2πn). 也就是说， k k k次谐波和 N − k N-k N−k次谐波的余弦表是一样的， k k k次谐波和 N − k N-k N−k次谐波的正弦表差一个负号。从频域的角度来看，时域采样会使模拟信号的频谱发生周期延拓，且延拓周期为采样频率。频率为 k f sub kf_\text{sub} kfsub的正余弦模拟信号的频谱在频点 ± k f sub \pm kf_\text{sub} ±kfsub各有一个冲激响应，以 f s f_\text{s} fs采样将使得 k f sub kf_\text{sub} kfsub处的冲激响应延拓至负频率 ( k − N ) f sub (k-N)f_\text{sub} (k−N)fsub处， − k f sub -kf_\text{sub} −kfsub处的冲激响应延拓至正频率 ( N − k ) f sub (N-k)f_\text{sub} (N−k)fsub处。
至此，公式(2)中看似有频率大于 N 2 f sub \frac{N}{2}f_\text{sub} 2Nfsub的子载波存在，实际上所有子载波都可以用1至 N 2 \frac{N}{2} 2N次谐波表示，基带信号的带宽（只看正频率）为 N 2 f sub \frac{N}{2}f_\text{sub} 2Nfsub，以 f s = N f sub f_\text{s}= Nf_\text{sub} fs=Nfsub为采样频率满足奈圭斯特采样定理。将OFDM符号进行上变频后获得频带的双边带信号，上下边带共有 N N N个子载波，占用总带宽为 ( N + 1 ) f sub (N+1)f_\text{sub} (N+1)fsub。