【机器学习】线性判别分析（LDA）：从理论到实践
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文章目录
- 线性判别分析（LDA）：从理论到实践
- LDA的基本概念
- LDA的算法步骤
- LDA的应用
- 文本分类
- 生物信息学
- 图像识别
- LDA与PCA的区别
- 结论
线性判别分析（LDA）：从理论到实践
线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）是一种广泛应用于模式识别和机器学习领域的经典统计技术，主要用于特征提取和分类。与主成分分析（PCA）等降维方法不同，LDA侧重于最大化类间差异，同时最小化类内差异，使其在监督学习场景下尤为有效。本文将深入探讨LDA的理论基础、算法流程、以及在现实世界中的应用案例。
LDA的基本概念
LDA的目标是找到一个投影，使得不同类别的样本在投影后的空间中尽可能分离，而同一类别的样本尽可能聚集。这一过程可以通过最大化类间散度与类内散度的比值来实现，即最大化Fisher准则函数。
Fisher准则函数
设数据集 D \mathcal{D} D由 c c c个类别组成，每个类别的样本集分别为 D 1 , D 2 , . . . , D c \mathcal{D}_1, \mathcal{D}_2, ..., \mathcal{D}_c D1,D2,...,Dc。LDA的目标是找到一个投影矩阵 W \mathbf{W} W，使得投影后的数据在类间差异最大化，同时类内差异最小化。Fisher准则函数定义如下：
J ( W ) = W T S B W W T S W W J(\mathbf{W}) = \frac{\mathbf{W}^T\mathbf{S}_B\mathbf{W}}{\mathbf{W}^T\mathbf{S}_W\mathbf{W}} J(W)=WTSWWWTSBW
其中， S B \mathbf{S}_B SB是类间散度矩阵， S W \mathbf{S}_W SW是类内散度矩阵。
类间散度矩阵 S B \mathbf{S}_B SB
类间散度矩阵 S B \mathbf{S}_B SB衡量了不同类别中心之间的差异。假设每个类别的样本均值向量为 μ i \boldsymbol{\mu}_{i} μi，总体均值为 μ \boldsymbol{\mu} μ，则 S B \mathbf{S}_B SB定义为：
S B = ∑ i = 1 c N i ( μ i − μ ) ( μ i − μ ) T \mathbf{S}_B = \sum_{i=1}^{c} N_i (\boldsymbol{\mu}_i - \boldsymbol{\mu})(\boldsymbol{\mu}_i - \boldsymbol{\mu})^T SB=i=1∑cNi(μi−μ)(μi−μ)T
其中， N i N_i Ni是第 i i i类的样本数量。
类内散度矩阵 S W \mathbf{S}_W SW
类内散度矩阵 S W \mathbf{S}_W SW反映了同一类别内部样本之间的差异。对于每个类别，我们计算其样本围绕类别均值的散度，然后加总得到 S W \mathbf{S}_W SW：
S W = ∑ i = 1 c ∑ x j ∈ D i ( x j − μ i ) ( x j − μ i ) T \mathbf{S}_W = \sum_{i=1}^{c} \sum_{\mathbf{x}_j \in \mathcal{D}_i} (\mathbf{x}_j - \boldsymbol{\mu}_i)(\mathbf{x}_j - \boldsymbol{\mu}_i)^T SW=i=1∑cxj∈Di∑(xj−μi)(xj−μi)T
LDA的算法步骤
LDA的算法流程可以概括为以下几个步骤：
- 计算类内散度矩阵: S W \mathbf{S}_W SW和类间散度矩阵 S B \mathbf{S}_B SB。
- 求解广义特征值问题：找到向量 w \mathbf{w} w和标量 λ \lambda λ，使得 S B w = λ S W w \mathbf{S}_B\mathbf{w} = \lambda\mathbf{S}_W\mathbf{w} SBw=λSWw。
- 选取投影方向：选择与最大 λ \lambda λ对应的 w \mathbf{w} w作为投影方向，或者选择前 k k k个最大的 λ \lambda λ对应的 w \mathbf{w} w构成投影矩阵 W \mathbf{W} W。
- 数据投影：将原始数据通过 W \mathbf{W} W进行投影，得到降维后的数据。
LDA的应用
文本分类
在文本分类任务中，LDA可以用于提取文档的主题特征，将高维的词频向量投影到低维空间，同时保持不同类别文档之间的差异。
生物信息学
LDA在基因表达数据分析中被广泛应用，通过识别不同疾病状态下的基因表达模式差异，辅助疾病的诊断和治疗。
图像识别
在人脸识别等图像识别任务中，LDA可以帮助提取面部特征，减少背景噪声的影响，提高识别率。
LDA与PCA的区别
虽然LDA和PCA都是降维技术，但它们的侧重点不同。PCA是无监督的，旨在保留数据的最大方差，而LDA是有监督的，旨在最大化类间差异和最小化类内差异，更适合于分类任务。
结论
线性判别分析（LDA）作为一种经典的统计技术，在模式识别和机器学习领域发挥着重要作用。通过最大化类间差异和最小化类内差异，LDA能够有效地进行特征提取和分类，尤其在监督学习场景下展现出卓越的性能。理解LDA的理论基础和算法流程，不仅有助于我们更好地应用这一技术，也为进一步探索更复杂的机器学习模型提供了坚实的理论支撑。
