数学基础 -- 隐函数与隐函数求导
隐函数与隐函数求导
隐函数是一种在方程中隐含表示的函数，其形式通常不是显式的，而是通过一个关系来表示。例如，对于两个变量 x x x 和 y y y，隐函数的形式可能是 F ( x , y ) = 0 F(x, y) = 0 F(x,y)=0。其中， F F F 是一个两变量的函数。要从这种形式中解出 y y y 对 x x x 的显式表达式 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 可能很困难，甚至在某些情况下不可能。然而，可以使用隐函数求导的方法来找到 y y y 对 x x x 的导数。
隐函数求导法
隐函数求导法是通过对隐函数方程 F ( x , y ) = 0 F(x, y) = 0 F(x,y)=0 进行隐式微分，从而找到 y y y 对 x x x 的导数 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy。以下是步骤：
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对方程两边同时求导：
对 F ( x , y ) = 0 F(x, y) = 0 F(x,y)=0 的两边分别对 x x x 求导。在这个过程中，需要注意 y y y 是 x x x 的函数，因此对 y y y 求导时需要使用链式法则。 -
应用链式法则：
假设 F F F 是关于 x x x 和 y y y 的可微函数，那么根据链式法则：
d F d x = ∂ F ∂ x + ∂ F ∂ y ⋅ d y d x = 0 \frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 dxdF=∂x∂F+∂y∂F⋅dxdy=0 -
解出导数：
解上述方程以得到 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy：
d y d x = − ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} dxdy=−∂y∂F∂x∂F
示例
假设有一个隐函数关系 x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x2+y2=1，这是单位圆的方程。我们希望找到 y y y 对 x x x 的导数。
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方程两边对 x x x 求导：
d d x ( x 2 + y 2 ) = d d x ( 1 ) \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(1) dxd(x2+y2)=dxd(1)
使用求导规则，左边应用链式法则：
2 x + 2 y d y d x = 0 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 2x+2ydxdy=0 -
解出导数：
2 y d y d x = − 2 x 2y \frac{dy}{dx} = -2x 2ydxdy=−2x
d y d x = − x y \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} dxdy=−yx
总结
隐函数求导的关键在于对隐含关系的方程进行微分，并应用链式法则，从而找出 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy。这个方法在处理复杂的关系时非常有用，特别是当无法将 y y y 明确地表示为 x x x 的函数时。