当前位置：首页 > news >正文

【数据结构】——堆的实现与算法

news 来源：原创 2024/9/22 11:42:01

一、堆的实现

1.1堆数据的插入

1.2堆数据的删除

二、建堆算法

2.1向上调整建堆

2.2向下调整建堆

三、堆的应用

3.1堆排序

3.2Top—K问题

一、堆的实现

1.1堆数据的插入

插入一个数据后不再是小堆需要将新数据调整到合适的位置，所以堆的插入就是在数组插入数据再向上调整即可

堆数据的插入

1.检查空间是否需要扩容

2.赋值size++

3.向上调整

void AdjustUp(HPDataType* a,int size)
{int child = size - 1;while (child > 0){int parent = (child - 1) / 2;//父亲结点if (a[child] < a[parent])//判断 小于建小堆{Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;}else{break;}}
}
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->capacity == php->size){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a,sizeof(HPDataType)*newcapacity);//这是 php->a的动态内存if (tmp == NULL){perror("fail realloc");return;}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size++] = x;AdjustUp(php->a, php->size);
}

1.2堆数据的删除

分析：

因此：

代码：

void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{int child = 2 * parent + 1;while (child<size)//结束条件不能越界{//假设法求出最小的孩子if (child + 1 < size && a[child] > a[child + 1]){child = child + 1;}//调整if (a[parent] > a[child]){Swap(&a[parent], &a[child]);//更新父亲孩子结点parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}
void HPPop(HP* php)//删除根结点
{assert(php && php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

二、建堆算法

2.1向上调整建堆

堆插入的过程其实就是建堆，在一个堆的末尾插入数据然后向上调整形成一个新的堆

void AdjustUp(HPDataType* a, int size)
{int child = size - 1;while (child > 0){int parent = (child - 1) / 2;//父亲结点if (a[child] > a[parent])//判断 小于建小堆{Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;}else{break;}}
}

向上调整建堆时间复杂度分析

根据大O渐进法，向上调整建堆的时间复杂度即 O(N*logN）

2.2向下调整建堆

从最后一个父亲结点开始依次向下调整

根据大O渐进法，向下调整建堆的时间复杂度即 O(N）

对比向上调整建堆，h-1层向下调整只需要移动1层，而向上调整需要移动h-1次因此向下调整是更优的建堆算法

三、堆的应用

3.1堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

升序：建大堆

降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

演示代码：

//升序向下调整
void SAdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{int child = 2 * parent + 1;while (child < size)//结束条件不能越界{//假设法求出最小的孩子if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1]){child = child + 1;}//调整if (a[parent] < a[child]){Swap(&a[parent], &a[child]);//更新父亲孩子结点parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}void HeapSort(int* a, int n)
{//升序建大堆//降序建小堆向上建堆//for (int i = 1; i < n; i++)//{//	//相当于慢慢插入数据建堆//	SAdjustUp(a, i);//}//向下调整建堆for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){SAdjustDown(a, n,  i);}int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);SAdjustDown(a, end, 0);end--;}
}

堆排序的时间复杂度：

对比向上调整建堆

可以知道堆排序时间复杂度：O（N*logN）

3.2Top—K问题

Top—K问题：N个数中求最大的（最小的）前K个数据，一般N远大于K

实例：专业前5名、富豪榜、游戏战力榜等等

方法一：

建一个N个数的大堆 O（N）

Pop k次数据 O（N*logN）

此方法缺陷也很明显如果N太大，排序就不太可取，甚至数据都无法一下子加载到内存中

方法二：

用前K个数建一个小堆 O（K）

剩下数据与堆顶数据比较，如果比堆顶数据大，那么替代堆顶进堆（覆盖堆顶数据然后向下调整）

O（logK*（N-K）（最坏情况都需要覆盖调整）

复杂度：O（N）

分析：

剩下的N-K个数据依次与堆顶数据比较

<1>数据比堆顶数据小，那么不可能为最大的前K个

<2>数据比堆顶数据大，覆盖调整之后形成一个新的小堆，再次比较

比较完所有的数后那么小堆中就是最大的前K个数据

代码实现

先生成十万个数据

void CreatData()
{int n = 100000;//生成10万个数据srand(time(0));//生成不同的种子FILE* file = fopen("qsy.txt", "w");//打开文件for (int i = 0; i < n; i++){int x = rand() % 100001 + i;//生成随机数fprintf(file, "%d\n", x);//写数据}fclose(file);//关闭文件file = NULL;
}

开K个空间从 qsy 文件里读取数据建堆

之后再读取数据比较堆顶数据覆盖调整

void CreatData()
{int n = 100000;//生成10万个数据srand(time(0));//生成不同的种子FILE* file = fopen("qsy.txt", "w");//打开文件for (int i = 0; i < n; i++){int x = rand() % 100001 + i;//生成随机数fprintf(file, "%d\n", x);//写数据}fclose(file);//关闭文件file = NULL;
}int main()
{CreatData();int k;scanf("%d", &k);int* kmin = (int*)malloc(10 * sizeof(int));if (kmin == NULL){perror("malloc fail");return 1;}//读取数据FILE* pf = fopen("qsy.txt", "r");for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(pf, "%d", &kmin[i]);}//建k个数的小堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){JAdjustDown(kmin, k, i);}//比较数据int x;while (fscanf(pf, "%d", &x) != EOF){if (x > kmin[0]){kmin[0] = x;JAdjustDown(kmin, k, 0);}}//打印数据for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", kmin[i]);}return 0;
}