DBMS-1.2 关系运算
本文章的素材与知识均来自于李国良老师的数据库管理系统课程。
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关系代数
一.基本关系代数运算
基本关系代数运算包括：选择、投影、并、差、笛卡尔积、重命名。
1.选择（select）
选择运算用于从关系R中获取满足条件的元组。
（1） 𝜎为选择运算符号。R为关系表。
（2）𝑝为选择谓词，由逻辑运算符和 与、或、非 连接的若干原子表达式构成的公式。
（3）原子表达式的形式为：𝑋 𝜃 𝑌。其中X、Y为属性名、常量或函数值。𝜃 为比较运算符，包括：等于、大于、小于、大于等于、小于等于、不等于。
（4）例如：
表示选择关系Student中，Sdept属性为"CS"的学生。
（5）例如：
表示选择关系Student中，Sdept属性为"CS"并且年龄大于等于18岁的学生，和所有Sdept属性为"MA"的学生。
2.投影（project）
投影运算用于从关系R中获取某些列组成新的关系。
（1）A1,A2,...Ak为关系R的属性列
（2）返回R中A1,A2,...Ak属性列上的元组，并去除重复元组。
（3）例如：
表示查询关系Student中，Sdept属性为"CS"的学生的Sno属性和Sname属性。查询结果为：
3.并（union）
并运算用于返回关系R和关系S中元组取并集的结果。
（1）关系R和关系S的属性个数要相同。
（2）关系R和关系S的属性应存在一一对应的关系。
（3）关系R中属性的域应和关系S中对应属性的域相同。
（4）例如：
表示查询关系Student中所有Sage属性为17和18的学生。查询结果为：
4.差（difference）
差运算用于返回在关系R中但不在关系S中的元组集合。
（1）关系R和关系S的属性个数要相同。
（2）关系R和关系S的属性应存在一一对应的关系。
（3）关系R中属性的域应和关系S中对应属性的域相同。
（4）例如：
表示查询关系Student中Sdept属性为"CS"但Sage属性小于18的学生。
5.笛卡尔积（Cartesian product）
笛卡尔积运算用于返回关系R中的元组和关系S中的元组作笛卡尔积的结果。
（1）若关系R中的元组个数为m，关系S中的元组个数为n，则RxS返回的元组个数为mxn。
（2）例如：
6.重命名（rename）
重命名运算用于对关系名和属性名做出修改。
（1）将关系R重命名为关系S。
（2）将关系R中的属性从左往右依次修改为A1,A2,...An。
（3）𝜌𝑆(𝑅) 表示只将关系R重命名为关系S，不修改属性名。
（4）例如：假设关系SC中存在属性Sno、Cno、Grade，则
表示将关系SC重命名为关系StudentCourse，并将其中的Grade属性重命名为Score属性。
二.附加关系代数运算
附加关系代数运算包括：交、连接、赋值、除。
附加关系表达式是由基本关系表达式推导出来的，用于简化表达。
1.交（intersection）
交运算用于返回关系R和关系S中元组取并集的结果。
（1）关系R和关系S的属性个数要相同。
（2）关系R和关系S的属性应存在一一对应的关系。
（3）关系R中属性的域应和关系S中对应属性的域相同。
（4）例如：
表示选择关系Student中，Sdept属性为"CS"并且Sage属性大于等于18的学生。
2.连接（join）
连接运算用于返回关系R和关系S的笛卡尔积运算结果中满足一定条件的元组。
（1）𝑝为选择谓词，由逻辑运算符和 与、或、非 连接的若干原子表达式构成的公式。
（2）连接运算可以用笛卡尔积运算和选择运算来表示。
（3）例如：
表示选择关系Student和关系SC中Sno属性相等的学生。选择结果为：
连接运算是基于笛卡尔积运算，因此返回的结果中，两边的属性都要体现。
3.等值连接（equijoin）
（1）当选择谓词p的比较运算符是"="时，该连接运算即为等值连接。
（2）例如上述的连接例子就是等值连接。
4.自然连接（natural join）
（1）自然连接将连接条件指定为关系R和关系S中所有同名属性作等值连接，因此选择谓词p可省略不写。
（2）例如：
表示选择关系Student和关系SC中所有同名属性值都相等的学生。查询结果为：
（3）自然连接是一种特殊的等值连接。等值连接需要指定作等值运算的两个属性；而自然连接是对所有同名属性都作等值运算。
（4）上述关系Student和关系SC作等值连接的例子中，由于两个关系的同名属性只有Sno，因此等值连接就是自然连接。但是如果两个关系还存在其他同名属性，则此时等值连接不再是自然连接，因为等值连接只指定了一组同名属性Sno，而自然连接要求所有同名属性。
5.左外连接（left outer join）
（1）左外连接就是：在自然连接的基础上，保留左边关系R的所有元组，而对于关系R中那些右边关系S的同名属性没有相同取值的元组，则用空值填充右边关系S中的属性。
6.右外连接（right outer join）
（1）右外连接就是：在自然连接的基础上，保留右边关系S的所有元组，而对于关系S中那些左边关系R的同名属性没有相同取值的元组，则用空值填充左边关系S中的属性。
7.全外连接（full outer join）
（1）全外连接就是左外连接和右外连接查询结果的并集。
（2）例如：
上述例子中，关系R与关系S做全连接得到的结果还应去重，例子中未作去重，需修正。
8.赋值（assignment）
（1）赋值运算可以将 "←" 右侧的关系代数表达式结果E赋值给 "←" 左侧的关系变量T。
（2）赋值运算用于分解复杂的关系代数表达式，使查询变得简单。
（3）例如：
表示将关系Student和关系SC基于属性Sno作等值连接，并将连接结构赋值给关系变量result。
9.除（division）
除运算会返回关系R中在属性A1,A2,...Am上的元组t，其中元组t和关系S中的任意元组q的组合都会出现在关系R中。
（1）关系R必须包含关系S的所有属性，若关系S存在一个关系R没有的属性，则无法进行除运算。
（2）返回的结果属性是A1,A2,...Am，即关系R中除去与关系S共有的属性。
（3）除运算可以用投影运算和笛卡尔积运算表示：
（4）例如：Student ÷ Course 表示查询选择所有课程的学生。
（5）例如：
关系R中，只有a所在的元组对应的属性B的值，包含了关系S中属性B的所有可能。
三.扩展关系代数运算
扩展关系代数运算包括：去重、广义投影、聚集、分组、排序。
1.去重（remove duplicates）
（1）去重运算用于将关系R中的重复元组去除，并返回去除重复元组后的关系。
（2）例如：
表示查询关系Student中所有系的信息。查询结果为：
2.广义投影（generalized projection）
（1）广义投影用于使用算数运算和字符串函数等来对投影运算进行扩展。
（2）F1,F2,...Fk为包含常量、变量(关系R中的属性)、运算符、函数等的多个表达式。
（3）例如：
表示查询所有学生的学号、姓名、出生年份(假设当前为2021年)。查询结果为：
3.聚集（aggregation）
（1）聚集运算用于查询关系R按某些属性的值聚集在一起的结果。
（2）A1,A2,...Ak为关系R的属性列，F1,F2,...Fk为在属性Ai上的聚集函数，常见的聚集函数包括：count、sum、avg、min、max等。
（3）例如：
表示查询学生总人数。
4.分组（group）
（1）分组运算首先对关系R中的元组按照某些属性列的值进行分组，再在各组上作聚集运算。
（2）先分组，再做聚集运算。
（3）G1,G2,...Gl是用来分组的一些列属性，关系R中那些属性Gi的值相等的元组会被分到同一组。
（4）例如：
表示查询各个系男生和女生的人数。查询结果为：
5.排序（sort）
（1）排序运算用于将关系R中的元组按照一列或多列的值排序。
（2）A1,A2,...Ak是用于排序的属性列。先将关系R中的元组按照属性列A1的值进行排序，若A1值相同，则再按A2的值进行排序，以此类推。排序优先级由高到低。
（3）例如：
将关系Student按照Sage属性排序，若Sage属性相同，则再按照Sno属性排序。查询结果为：
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关系演算
一.元组关系演算
例如：
二.域关系演算
例如：
