算法:最长递增子序列
题目
给你一个整数数组 nums ,找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如,[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列
示例 1:
输入:nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出:4
解释:最长递增子序列是 [2,3,7,101],因此长度为 4 。
示例 2:
输入:nums = [0,1,0,3,2,3]
输出:4
示例 3:
输入:nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出:1
提示:
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104
进阶:
你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?
问题分析
最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence, LIS)问题要求我们找到一个数组中的最长严格递增子序列的长度。子序列是通过删除某些元素而不改变剩余元素的顺序得到的。例如,在数组 [10,9,2,5,3,7,101,18]
中,最长递增子序列是 [2,3,7,101]
,其长度为 4。
解题思路
- 动态规划(DP)方法:
- 使用一个数组
dp
,其中dp[i]
表示以nums[i]
结尾的最长递增子序列的长度。 - 初始化
dp
数组,每个位置都为 1(至少每个元素自身可以形成一个长度为 1 的子序列)。 - 对于每个元素
nums[i]
,遍历之前的元素nums[j]
(j < i
),如果nums[j] < nums[i]
,则更新dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
。 - 最终,最长递增子序列的长度为
max(dp)
。
- 使用一个数组
- 优化方法(O(n log n)):
- 使用一个辅助数组
tails
,其中tails[k]
表示长度为k+1
的递增子序列的末尾元素的最小值。 - 遍历
nums
中的每个元素,使用二分查找在tails
中找到第一个大于或等于当前元素的位置,更新tails
。 - 如果当前元素大于
tails
中的所有元素,则将其添加到tails
的末尾。 - 最终,
tails
的长度即为最长递增子序列的长度。
- 使用一个辅助数组
C++ 实现
以下是使用动态规划和优化方法的 C++ 实现:
动态规划实现
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>int lengthOfLIS(std::vector<int>& nums) {if (nums.empty()) return 0;std::vector<int> dp(nums.size(), 1);for (size_t i = 1; i < nums.size(); ++i) {for (size_t j = 0; j < i; ++j) {if (nums[j] < nums[i]) {dp[i] = std::max(dp[i], dp[j] + 1);}}}return *std::max_element(dp.begin(), dp.end());
}int main() {std::vector<int> nums = {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18};std::cout << "最长递增子序列的长度为: " << lengthOfLIS(nums) << std::endl;return 0;
}
优化方法实现(O(n log n))
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>int lengthOfLIS(std::vector<int>& nums) {std::vector<int> tails;for (int num : nums) {auto it = std::lower_bound(tails.begin(), tails.end(), num);if (it == tails.end()) {tails.push_back(num);} else {*it = num;}}return tails.size();
}int main() {std::vector<int> nums = {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18};std::cout << "最长递增子序列的长度为: " << lengthOfLIS(nums) << std::endl;return 0;
}
总结
- 动态规划的方法简单易懂,但时间复杂度为 O(n^2)。
- 优化方法通过使用二分查找将时间复杂度降低到 O(n log n),适合处理较大的输入数据。
希望这个解答能帮助你理解最长递增子序列问题的解决方案!如果有任何疑问,欢迎继续提问。