C++第三十六弹---二叉搜索树的性能飞跃：AVL树原理与实现

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目录

1 AVL 树

1.1 AVL树的概念

1.2 AVL树节点的定义

1.3 AVL树的插入

1.4 AVL树的旋转

1.5 AVL树的验证

1 AVL 树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

为什么保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，而不是高度差为0？

有些结点情况下，比如2/4，做不到平衡，因此退而求其次，左右的高度差不超过1。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
• 高度之差 == 右树高度 - 左树高度(博主实现AVL树以这个为标准)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在

O(log2 n)，搜索时间复杂度O(log2 n)。

1.2 AVL树节点的定义

AVL树的节点定义的成员变量：

• 存储值：每个节点存储的值。
• 左节点指针：指向当前节点的左节点的指针。
• 右节点指针：指向当前节点的右节点的指针。
• 双亲节点指针：指向当前节点的双亲节点的指针。根节点的双亲节点指针为空。
• 平衡因子：表示当前节点的右子树高度和左子树高度之差。平衡因子可以为-1、0或1。

AVL树节点的定义： 

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;// 左孩子AVLTreeNode<K, V>* _right;// 右孩子AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 双亲pair<K, V> _kv;int _bf;// balance factor 平衡因子AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};

AVL树基本结构的定义：

template<class K,class V>
class AVLTree
{// 重命名结点typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:// 插入bool Insert(const pair<K,V>& kv);// 判平衡bool IsBalance()// 求高度int Height()// 求结点个数int Size()// 查找Node* Find(const K& key)// 中序遍历void InOrder()
private:// 结点成员Node* _root = nullptr;
};

1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

• 1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
• 2. 调整节点的平衡因子

按照搜索树规则插入节点

bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){// 插入值更大则插入到右边// .优先级高于->if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}// 小则在左边else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}// 二叉搜索树默认不能冗余，因此相等则返回falseelse{return false;}}// 为空则找到插入位置 需要先找到父亲的位置// key值大于父亲的值则在右侧cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}// 链接双亲结点，搜索二叉树没有双亲结点cur->_parent = parent;//...
}

更新插入节点的平衡因子

cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

•  1. 如果cur插入到pParent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
•  2. 如果cur插入到pParent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可

 
此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

•  1. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
•  2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
•  3. 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性// 更新平衡因子while (parent)// 最坏情况为空结束循环{// 插入父亲的左边，父亲的平衡因子--if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}// 插入父亲的右边，父亲的平衡因子++else{parent->_bf++;}// 判断父亲的平衡因子的情况// 平衡因子为0，树高度没变，不再更新if (parent->_bf == 0){break;}// 父亲的子树高度变了，需要继续更新平衡因子else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}// 父亲所在的子树高度不平衡，需要旋转处理else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 旋转}// 理论上不可能出现该情况else{assert(false);}}return true;
}

1.4 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

抽象图

 具象图

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要虑：

 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在

 2. 60可能是根节点，也可能是子树

•  如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
•  如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 

代码 

// 右单旋 左边较高
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 更新parentparent->_left = subLR;// subLR不为空则更新父亲，subLR为30的右孩子if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;//xxx// 提前存parent的父亲Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;// parent为根节点if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{// parent为ppNode的左结点if (parent == ppNode->_left){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}// 更新平衡因子subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

 1. 60节点的左孩子可能存在，也可能不存在

 2. 30可能是根节点，也可能是子树

•  如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
•  如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 

代码 

// 左单旋 右边较高
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;// 更新parentparent->_right = subRL;// subRL不为空，subRL为60的左孩子if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;// 提前存parent的父结点Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;// parent为根节点if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{// 左if (parent == ppNode->_right){ppNode->_right = subR;}else{ppNode->_left = subR;}subR->_parent = ppNode;}// 平衡因子subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

抽象图

在 b 子树中插入

在 c 子树中插入 

具象图 

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。 

// 左右单旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;// 先对左孩子左单旋RotateL(parent->_left);// 再对parent右单旋RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

抽象图

在c 子树中插入

在 b 子树中插入 

具象图 

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对90进行右单旋，然后再对30进行左单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。  

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;//决定最终平衡因子的情况// 先对右孩子右单旋RotateR(parent->_right);// 再对自己左单旋RotateL(parent);if (bf == 1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

 注意：双旋之后需要调节根据情况调节平衡因子，单旋之后平衡因子都为0。

总结：
假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为SubR

• 当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋
• 当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为SubL

• 当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
• 当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。 

1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
1. 验证其为二叉搜索树

• 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
• 节点的平衡因子是否计算正确

高度计算

int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;// 左右子树较高树的高度+1return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}

判断平衡

1.空树则满足平衡搜索二叉树

2.判断当前结点高度差的绝对值是否小于等于1

3.检查平衡因子是否正确

4.继续判断左子树与右子树

bool _IsBalance(Node* root)
{if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);// 不平衡能直接返回结果if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)return false;// 顺便检查一下平衡因子是否正确if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << endl;return false;}return _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);
}

1.7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2 N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。 

1.8 AVL树完整代码

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;// balance factorAVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K,V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){// 插入值更大则插入到右边// .优先级高于->if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}// 小则在左边else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}// 二叉搜索树默认不能冗余，因此相等则返回falseelse{return false;}}// 为空则找到插入位置 需要先找到父亲的位置// key值大于父亲的值则在右侧cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因子while (parent)// 最坏情况为空结束循环{// 插入父亲的左边，父亲的平衡因子--if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}// 插入父亲的右边，父亲的平衡因子++else{parent->_bf++;}// 判断父亲的平衡因子的情况// 平衡因子为0，树高度没变，不再更新if (parent->_bf == 0){break;}// 父亲的子树高度变了，需要继续更新平衡因子else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}// 父亲所在的子树高度不平衡，需要旋转处理else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 右单旋if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}// 左单旋else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}// 右左单旋 右高 左高else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}// 左右单旋 左高 右高else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}break;// 跳出循环，旋转之后一定平衡}// 理论上不可能出现该情况else{assert(false);}}return true;}// 右单旋 左边较高void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 更新parentparent->_left = subLR;// subLR不为空则更新父亲if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;//xxx// 提前存parent的父亲Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;// parent为根节点if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{// parent为ppNode的左结点if (parent == ppNode->_left){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}// 更新平衡因子subL->_bf = parent->_bf = 0;}// 左单旋 右边较高void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;// 更新parentparent->_right = subRL;// subRL不为空if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;// 提前存parent的父结点Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;// parent为根节点if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{// 左if (parent == ppNode->_right){ppNode->_right = subR;}else{ppNode->_left = subR;}subR->_parent = ppNode;}// 平衡因子subR->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;//决定最终平衡因子的情况// 先对右孩子右单旋RotateR(parent->_right);// 再对自己左单旋RotateL(parent);if (bf == 1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}// 左右单旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;// 先对左孩子左单旋RotateL(parent->_left);// 再对parent右单旋RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}int Height(){return _Height(_root);}int Size(){return _Size(_root);}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;// 较高树的高度+1return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;}int _Size(Node* root){return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);// 不平衡能直接返回结果if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)return false;// 顺便检查一下平衡因子是否正确if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << endl;return false;}return _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};