【概率统计】三扇门游戏（蒙提霍尔问题）
三扇门游戏
- 两种答案
- 2/3的重选正确率
- 1/2的重选正确率
- 正确答案
也称为蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）：
有三扇门，其中只有一扇是正确的门，打开后将能获得一辆豪车。另外两扇门是错误选项，门内只有山羊。从门外无法获知那扇才是正确选项。挑战者需要从三扇门中选择一扇打开。
在决定选择某扇门后，还剩两个选项，其中至少有一个是错误选择。此时，（知道正确答案的）主持人打开了没被选中的门中错误的那个，让挑战者确认了门后的山羊，并询问：“是否要重新选择？”
挑战者是否应该重选，还是应该坚持最初的选择？又或者是两种做法没什么区别？
两种答案
对于这个问题，可能会有两种关于重选后正确的概率的答案。但只有一个答案是正确的。
2/3的重选正确率
在挑战者做出第一次选择之后，有1/3的概率正确，2/3的概率不正确。
对于重选后的情况，可以分成两种：
- 如果第一次选择正确，重选必定错误
- 如果第一次选择错误，重选必定正确
也就是说，“第一次选择错误”的概率就是“重选后正确”的概率。所以，重选的正确率是2/3.重选更加有利。
1/2的重选正确率
在游戏开始时，存在三种可能：
- 门1是正确答案（概率1/3）
- 门2是正确答案（概率1/3）
- 门3是正确答案（概率1/3）
假设挑战者选择门3，而主持人打开了门1。因为主持人打开的肯定是错误的门，那么就只剩下了两种可能：
- 门2是正确答案（概率1/2)
- 门3是正确答案（概率1/2）
此时，重新选择门2与继续选择门3的概率似乎都是1/2。
正确答案
很多时候直接计算某件事发生的可能性非常难，但我们可以比较容易的列举所有的可能情况。这就像是《复联》中奇异博士看到的平行世界。比如，抛一次硬币的平行世界是确定的，只有正面朝上的世界或者正面朝下的世界，这两种。但是最终我们会落在哪种世界是不确定。但是根据平行世界的数量我们也可以得出抛硬币结果的概率，即两种平行世界中的其中一种（1/2）。
我们可以用相同的思路来验证“三扇门”游戏中的重选正确率。
首先，我们假设有18个平行世界。其中6个平行世界中，门1是正确选项；另外6个平行世界中，门2是正确选项；剩余6个平行世界中，门3个正确选项。这3种平行世界中，分别都有挑战者选择门1的2个平行世界、选择门2的2个平行世界，以及选择门3的2个平行世界。所有平行世界的情况如下表：
| 挑战者选择门1 | 挑战者选择门2 | 挑战者选择门3 | |
|---|---|---|---|
| 门1是正确答案 | ◯ \bigcirc ◯ 2个世界 | X 2个世界 | X 2个世界 |
| 门2是正确答案 | X 2个世界 | ◯ \bigcirc ◯ 2个世界 | X 2个世界 |
| 门3是正确答案 | X 2个世界 | X 2个世界 | ◯ \bigcirc ◯ 2个世界 |
接下来，主持人打开一扇错误的门（没被选择的正确门不会被打开）。情况就会变成如下所示：
| 挑战者选择门1 | - | 挑战者选择门2 | - | 挑战者选择门3 | - | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 主持人 | 打开门2 | 打开门3 | 打开门1 | 打开门3 | 打开门1 | 打开门2 |
| 门1是正确答案 | ◯ \bigcirc ◯ 1个世界 | ◯ \bigcirc ◯ 1个世界 | – | X 2个世界 | – | X 2个世界 |
| 门2是正确答案 | – | X 2个世界 | ◯ \bigcirc ◯ 1个世界 | ◯ \bigcirc ◯ 1个世界 | X 2个世界 | – |
| 门3是正确答案 | X 2个世界 | – | X 2个世界 | – | ◯ \bigcirc ◯ 1个世界 | ◯ \bigcirc ◯ 1个世界 |
可以看到，重选后正确的世界，为所有前面打"X"的世界，总共有12个。所以重选后的正确率为 12 / 18 = 2 / 3 12/18=2/3 12/18=2/3。
1/2的重选正确率之所以错误，是因为当挑战者选择了门3，而主持人打开了门1之后，门2是正确答案的世界有2个，而门3是正确答案的世界有1个，所以并不是五五开的。
其实，从另一个角度来看，1/2的答案之所以错了，是因为它将主持人打开门之后的样本空间作为了一个新的样本空间，从而与前面的步骤没有了联系，所以才会得出1/2的答案。它没有在整个过程中保持样本空间的统一性。