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保研考研机试攻略：第三章——数学（1）

news 来源：原创 2024/9/20 23:17:23

🍨🍨🍨本章我们重点讲解一些常见的数学题型，包括同模余定理、最大公约数（GCD）、最小公倍数（LCM）、斐波那契数列、素数判定、素数筛选、分解素因数、二分快速幂、常见数学公式总结、规律神器 OEIS 等内容。

🍨🍨🍨 数学算是一个很常考的类别，毕竟计算机的基础是数学。

🍨🍨🍨 认真看完这一章的内容对我们的帮助会很大哦，加油，fighting！！！

🧊🧊🧊3.1 同模余定理

🥥题型总结：

定义

定律

应用

🥥例题：DreamJudge 1500

🧊🧊🧊3.2 最大公约数（GCD）

🥥例题：DreamJudge 1180

🥥练习题目：

DreamJudge 1426 最大公约数 1

🧊🧊🧊3.3 最小公倍数（LCM）

🥥题型总结：

🧊🧊🧊3.4 斐波那契数列

🥥题型总结：

定义

公式

需要注意的考点

🧊🧊🧊3.1 同模余定理

🥥题型总结：

定义

所谓的同余，就是许多的数除以同一个数 d ，有相同的余数。d 数学上的称谓为模。如 a = 6, b = 1, d = 5, 则我们说 a 和 b 是模 d 同余的。因为他们都有相同的余数 1 。

数学上的记法为：a≡ b(mod d)

可以看出当 n < d 的时候,所有的 n 都对 d 同商，比如时钟上的小时数，都小于 12，所以小时数都是模 12 的同余.对于同余有三种说法都是等价的,分别为:

(1) a 和 b 是模 d 同余的.

(2) 存在某个整数 n ,使得 a = b + nd .

(3) d 整除 a - b .

可以通过换算得出上面三个说话都是正确而且是等价的.

定律

同余公式也有许多我们常见的定律，比如相等律，结合律，交换律，传递律….如下面表示:

1) a≡a(mod d)

2) a≡b(mod d)→b≡a(mod d)

3) (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果 a≡x(mod d),b≡m(mod d),则

4) a+b≡x+m （mod d）

5) a-b≡x-m(mod d)

6) a*b≡x*m(mod d )

应用

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c;

(a-b)%c=(a%c-b%c)%c;

(a*b)%c=(a%c*b%c)%c;

🥥例题：DreamJudge 1500

n 虽然不大，但是 n^5 却超过 long long 的范围，好在题目要我们对答案%3，我们就可以运用同余模定理。S(n)%3=(n^5)%3=(n*n*n*n*n)%3=((n%3)*(n%3)*(n%3)*(n%3)*(n%3))%3

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int main() {long long int n;while(~scanf("%lld",&n)) {long long int s=n;// 同余模定理：for(int i=1;i<5;i++) {s=((s%3)*(n%3));}printf("%lld\n",s%3);}return 0;
}

另一类考点就是对大数进行取模

对于大数的求余，联想到进制转换时的方法，举例如下，设大数 m=1234, 模 n 就等于

((((1 * 10) % n + 2 % n) % n * 10 % n + 3 % n) % n * 10 % n + 4 % n)%n

参考代码：

#include <stdio.h>
char s[1000];
int main() {int i, j, k, m, n;while(~scanf("%s%d", s, &n)) {m = 0;for(i = 0; s[i] != '\0'; i++)m = ((m * 10) % n + (s[i] - '0') % n) % n;printf("%d\n", m);}return 0;
}

特别提醒：同余模定理的运算不适用于除法，对于除法取模的运算我们一般使用逆元来解决问题，后面的章节中会详细给大家讲解。

🧊🧊🧊3.2 最大公约数（GCD）

废话不多说，直接上代码：

#include <stdio.h>
int gcd(int a, int b) {if (b == 0) return a;else return gcd(b, a % b);
}int main() {int x, y;scanf("%d%d", &x, &y);printf("%d\n", gcd(x, y));return 0;
}

🥥例题：DreamJudge 1180

通过分析题意可以发现，最简真分数的必要条件就是不可以继续约分，那么不可以继续约分，就说明分子和分母的最大公约数为 1。因此，我们只需要枚举所有组合的情况然后判断 GCD 即可。

#include <stdio.h>
int gcd(int a, int b) {if(b==0) return a;else return gcd(b, a%b);
}int main() {int buf[605];int ans, n;while(scanf("%d", &n)!=EOF) {for(int i=0; i<n; i++)scanf("%d", &buf[i]);ans=0;//答案个数for(int i=0; i<n; i++)for(int j=i+1; j<n; j++)if (gcd(buf[i], buf[j])==1) ans++;printf("%d\n", ans);}return 0;
}

另一种变形考法是：分数化简

例如：给你一个分数 12/30，让你将它化简，很明显，我们都知道它的答案是 2/5。

那么：如果给你一个分数 x/y 呢？如何化简？

我们可以得出：x/y = (x/gcd(x,y))/(y/gcd(x,y))

那么只用求出他们的最大公约数，然后除一下就可以得到答案了。

🥥练习题目：

DreamJudge 1426 最大公约数 1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
int main()
{int n,minm=INT_MAX,maxm=0,cur;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>cur;minm=min(minm,cur);maxm=max(maxm,cur);}cout<<minm<<" "<<maxm<<" "<<gcd(minm,maxm);return 0;
}

🧊🧊🧊3.3 最小公倍数（LCM）

只需记住下面这个公式：

LCM(x, y) = x * y / GCD(x, y)

翻译一下就是：两个数的最小公倍数等于两个数的乘积除以两个数的最大公约数。

所以要求两个数的最小公倍数，我们只需求出他们的最大公约数即可。

上面的式子经过变形，可以很容易得到下面这个式子

x * y = LCM(x, y) * GCD(x, y)

🥥题型总结：

给你两个数的乘积和这两个数的最小公倍数，问你这两个数的最大公约数是多少：很明显，我们通过上面的公式可知，乘积除以最小公倍数就是答案。
给你两个数的最大公约数和最小公倍数，问你这两个数的和最大和最小可能是多少：（最小可能和：假设 a 和 b 是最小的正整数解，通常情况下，最小值会出现在 a=gcd 和 b=lcm 时，此时和为 gcd+lcm。最大可能和：如果没有额外限制，理论上，和可以变得非常大。但在实际应用中，考虑 a 和 b 依赖于 gcd 和 lcm 的具体值。例如，如果 gcd 是 1，lcm 是任意大数，理论上的和可以非常大。因此，最小和是 gcd+lcm，最大和则取决于 gcd 和 lcm 的具体值。）