【数学分析笔记】第2章第2节数列极限（2）

2. 数列极限

2.2 数列极限

【例2.2.3】证明$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1(a>1)$
【证】对任意给定的$\epsilon >0$，令$\sqrt[n]{a}-1=y_n>0(a>1)$
$\sqrt[n]{a}=1+y_n$，两边同时取$n$次方得
$a=(1+y_n{)}^2=1+C_n^1{y}_n+C_n^2{y}_n^2+...+C_n^n{y}_n^n>1+n{y}_n$，则$y_n<\frac{a-1}{n}$
若要$|\sqrt[n]{a}-1|=|y_n|=\sqrt[n]{a}-1<\frac{a-1}{n}<\epsilon$即$\frac{a-1}{n}<\epsilon$
则$n>\frac{a-1}{\epsilon }$，由于$a>1,\epsilon >0$，所以$\frac{a-1}{\epsilon }>0$（小于一个大于0的数，就能说明$\epsilon$，$\frac{a-1}{\epsilon }$若在区间$(0,1)$内，取整后有可能为0，还得加个1）
所以取$N=[\frac{a-1}{\epsilon }]+1$
故当$n>N$时，$|\sqrt[n]{a}-1|=\sqrt[n]{a}-1<\epsilon$
所以$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1(a>1)$

【例2.2.4】证明$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$
【证】对任意给定的$\epsilon >0$，
要证$|\sqrt[n]{n}-1|=\sqrt[n]{n}-1<\epsilon$（数列的下标$n$是从1开始计算的，也就是$n\ge 1$，所以$\sqrt[n]{n}\ge 1$，即$|\sqrt[n]{n}-1|=\sqrt[n]{n}-1$）
令$\sqrt[n]{n}-1=y_n>0(n=2,3,...)$（$n$从2开始$y_n>0$）
$\sqrt[n]{n}=y_n+1(n=2,3,...)$
即$n=1+C_n^1{y}_n+C_n^2{y}_n^2+...+C_n^n{y}_n^n>1+\frac{n(n-1)}{2}{y}_n^2$
即$y_n^2<\frac{2}{n}$所以$y_n<\sqrt{\frac{2}{n}}$（不等式最左侧有$n$，所以右侧放缩不能放出含$n$的项）
若要$y_n<\sqrt{\frac{2}{n}}<\epsilon$
只要$n>\frac{2}{{\epsilon }^2}$
取$N=[\frac{2}{{\epsilon }^2}]$
当$n>N$时，$|\sqrt[n]{n}-1|=\sqrt[n]{n}-1<\epsilon$
即$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$


【拓展】证明$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n^2}=1$
【证（我自己写的，请数院大神批评指正）】对任意给定的$\epsilon >0$，
要证$|\sqrt[n]{n^2}-1|=\sqrt[n]{n^2}-1<\epsilon$
令$\sqrt[n]{n^2}-1=y_n>0(n=2,3,...)$（$n$从2开始$y_n>0$）
$\sqrt[n]{n^2}=y_n+1(n=2,3,...)$
即$n^2=1+C_n^1{y}_n+C_n^2{y}_n^2+...+C_n^n{y}_n^n>1+\frac{n!}{3!(n-3)!}{y}_n^3=1+\frac{n(n-1)(n-2)}{3\times 2\times 1}{y}_n^3=1+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}{y}_n^3$
即$n^2-1>\frac{n(n-1)(n-2)}{6}{y}_n^3$
亦即$(n+1)(n-1)>\frac{n(n-1)(n-2)}{6}{y}_n^3$
所以$\frac{6(n+1)}{(n-1)(n-2)}>y_n^3$
即$y_n^3<\frac{6(n+1)}{(n-1)(n-2)}$所以$y_n<\sqrt[3]{\frac{6(n+1)}{(n-1)(n-2)}}<\sqrt[3]{\frac{6(n-1)}{(n-1)(n-2)}}=\sqrt[3]{\frac{6}{n-2}}$（不等式最左侧有$n$，所以右侧放缩不能放出含$n$的项）
若要$y_n<\sqrt[3]{\frac{6}{n-2}}<\epsilon$
只要$n-2>\frac{6}{{\epsilon }^3}$
即$n>\frac{6}{{\epsilon }^3}+2$
取$N=[\frac{6}{{\epsilon }^3}+2]$（这时候肯定满足了$N$是正整数）
当$n>N$时，$|\sqrt[n]{n^2}-1|=\sqrt[n]{n^2}-1<\epsilon$
即$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n^2}=1$
…
以此类推，$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n^k}=1,k\in {\mathbb{N}}^{+}$


【例2.2.5】证明$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n^2-7n}=\frac{1}{2}$
【证】对任意给定的$\epsilon >0$
要使得$|\frac{n^2+1}{2n^2-7n}-\frac{1}{2}|=|\frac{2n^2+2-2n^2+7n}{2(2n^2-7n)}|=|\frac{7n+2}{2(2n^2-7n)}|$
当$n>3$（找$N$比3大就行，数列的有限项不影响数列极限取值）时，
则$|\frac{n^2+1}{2n^2-7n}-\frac{1}{2}|=\frac{7n+2}{2(2n^2-7n)}$
当$n>3$的时候，$7n+2<7n+n=8n$
为了能够放缩出更简单的形式，我们要想尽办法找到比$2(2n^2-7n)=2n(2n-7)$分母小的，分母小，整个分式越大，$2n(2n-7)$不可能大于$4n^2$，因为那样会出现$-7=0$的矛盾情况，于是尝试找$2n(2n-7)>2n\cdot n$的情况，即$2n-7>n$即$n>7$（前7项都是有限项，不耽误后面无限项趋近于极限值）的时候，有：
$2(2n^2-7n)=2n(2n-7)=-2n$
若要$\frac{7n+2}{2(2n^2-7n)}<\frac{8n}{2n^2}=\frac{4}{n}<\epsilon$，还要保证$n>7$
即取$N=\max \{[\frac{4}{\epsilon }],7\}$（视频课中写的是$6$，也可以，保证$2n(2n-7)\ge 2n\cdot n$，则$\frac{7n+2}{2(2n^2-7n)}\le \frac{8n}{2n^2}=\frac{4}{n}<\epsilon$,最后是小于$\epsilon$且能将不等式不等号方向顺下来就行）
当$n>N$时，$|\frac{n^2+1}{2n^2-7n}-\frac{1}{2}|<\frac{4}{n}<\epsilon$
所以$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n^2-7n}=\frac{1}{2}$


【例2.2.6】设$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，证明$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=a$
【证】（1）设$a=0$对任意给定的$\epsilon >0$，存在$N_1$，当$n>N_1$时，$|a_n|<\frac{\epsilon }{2}$（任意给定，只要保证大于0就行，所以取$\epsilon =\frac{\epsilon }{2}>0$）
$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=\frac{a_1+a_2+...+a_{N_1}}{n}+\frac{a_{N_1+1}+a_{N_1+2}+...+a_n}{n}$
由于当$n>N_1$时，$|a_n|<\frac{\epsilon }{2}$(讨论$a$为0也是为了这里方便一些，更是为了后续证明$a\ne 0$的情况），且$N_1+1,N_1+2,...,a_n>N_1$，所以$|\frac{a_{N_1+1}+a_{N_1+2}+...+a_n}{n}|\le \frac{|a_{N_1+1}|+|a_{N_1+2}|+...+|a_n|}{n}<\frac{(n-(N_1+1)+1)\cdot \frac{\epsilon }{2}}{n}=\frac{(n-N_1)\cdot \frac{\epsilon }{2}}{n}<\frac{n\cdot \frac{\epsilon }{2}}{n}=\frac{\epsilon }{2}$
由于$a_1+a_2+...+a_{N_1}$是确定的有限项的和，则取$N>N_1$，使得$n>N>N_1$时，有$|\frac{a_1+a_2+...+a_{N_1}}{n}|<\frac{\epsilon }{2}$（这里陈纪修老师应该是默认我们证明过了$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{c}{n}=0,c$为常数，取$N>N_1$是为了保证$a_1+a_2+...+a_{N_1}$是有限项，这样有限项的和就是一个常数，记$a_1+a_2+...+a_{N_1}=c$，对于任意给定的$\epsilon >0$，则$|\frac{c}{n}-0|=|\frac{c}{n}|=\frac{|c|}{n}<\frac{\epsilon }{2}$，取$N=[\frac{2|c|}{\epsilon }]+1$，当$n>N$时，有$|\frac{c}{n}-0|=|\frac{c}{n}|<\frac{\epsilon }{2}$，本题这里是相当于是知道了$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{c}{n}=0$推出$|\frac{c}{n}|<\frac{\epsilon }{2}$，这里想了好久，要不然这篇博客也不会这么久不发出去）
所以$|\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}|=|\frac{a_1+a_2+...+a_{N_1}}{n}|+|\frac{a_{N_1+1}+a_{N_1+2}+...+a_n}{n}|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$
所以$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=a=0$
（2）当$a\ne 0$时，由于$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，则 { a n − a } \{a_{n}-a\} {an​−a}的极限是无穷小量.（上一节课无穷小量的定义）
$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}-a)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_1-a+a_2-a+...+a_n-a}{n}$
由于（1）中已经证明的结论，由于 { a n − a } \{a_{n}-a\} {an​−a}的极限是无穷小量即$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n-a)=0$，所以$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}-a)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_1-a+a_2-a+...+a_n-a}{n}=0\iff \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=a$
【注】用到了上节课的知识：若 lim ⁡ n → ∞ x n = a ⇔ { x n − a } \lim\limits_{n\to \infty}x_{n}=a\Leftrightarrow\{x_{n}-a\} n→∞lim​xn​=a⇔{xn​−a}是无穷小量。

2.2.5 数列极限的性质

记号：$\forall$ 对于每一个，任意的
$\exists$ 存在，可以找到
$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$的定义用记号写为：$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N:|x_n-a|<\epsilon$

• 唯一性：若$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a,\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=b$，则$a=b$
  【证】$\forall \epsilon >0,\exists N_1,\forall n>N_1:|x_n-a|<\frac{\epsilon }{2}$（取得巧妙的$\frac{\epsilon }{2}$）
  $\forall \epsilon >0,\exists N_2,\forall n>N_2:|x_n-a|<\frac{\epsilon }{2}$
  取 N = max ⁡ { N 1 , N 2 } , ∀ n > N : N=\max\{N_{1},N_{2}\},\forall n>N: N=max{N1​,N2​},∀n>N:
  由三角不等式$||a|-|b||\le |a+b|\le |a|+|b|$
  $|x_n-a|+|x_n-b|=|a-x_n|+|x_n-b|\ge |a-x_n+x_n-b|=|a-b|$
  则$|a-b|\le |x_n-a|+|x_n-b|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$
  由$\epsilon$的任意性可知，$a=b$
• 有界性：有数列 { x n } \{x_{n}\} {xn​}，若$\exists M\in \mathbb{R},\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}$成立$x_n\le M$，则$M$是 { x n } \{x_{n}\} {xn​}的一个上界，或称 { x n } \{x_{n}\} {xn​}有上界；若$\exists m\in \mathbb{R},\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}$成立$x_n\ge m$，则$m$是 { x n } \{x_{n}\} {xn​}的一个下界，或称 { x n } \{x_{n}\} {xn​}有下界； { x n } \{x_{n}\} {xn​}既有上界又有下界，则称 { x n } \{x_{n}\} {xn​}有界；有界的另一定义：$\exists X\in {\mathbb{R}}^{+},\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}$成立，则$|x_n|\le X$.

【定理2.2.2】收敛数列一定有界。
【证】若 { x n } \{x_{n}\} {xn​}收敛于$a$，$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N:|x_n-a|<\epsilon$，取$\epsilon =1$，存在$N,\forall n>N:|x_n-a|<1\iff a-1<x_n<a+1$
取 M = max ⁡ { x 1 , x 2 , . . . , x n , a + 1 } , m = min ⁡ { x 1 , x 2 , . . . , x n , a − 1 } M=\max\{x_{1},x_{2},...,x_{n},a+1\},m=\min\{x_{1},x_{2},...,x_{n},a-1\} M=max{x1​,x2​,...,xn​,a+1},m=min{x1​,x2​,...,xn​,a−1}（有限个数，找到数列中的最大值项和$a+1$取最大值，找到数列中的最小值与$a-1$取最小值，那么这个最大值肯定是 { x n } \{x_{n}\} {xn​}的一个上界，最小值肯定是 { x n } \{x_{n}\} {xn​}的一个下界）
$\forall n\in {\mathbb{N}}^{+},m\le x_n\le M$
即收敛数列一定有界。