数学基础 -- 函数的平均值定理与定积分的中值定理
1. 函数的平均值定理
定理内容：
设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在闭区间 ([a, b]) 上连续，并且在开区间 ((a, b)) 上可导，那么至少存在一点 c ∈ ( a , b ) c \in (a, b) c∈(a,b)，使得：
f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} f′(c)=b−af(b)−f(a)
这个定理的几何意义是，在区间 ([a, b]) 上至少存在一点 c c c，使得函数在该点的切线斜率等于割线斜率，即函数在该点的瞬时变化率等于平均变化率。
2. 定积分的中值定理
定理内容：
设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在闭区间 ([a, b]) 上连续，那么存在 c ∈ [ a , b ] c \in [a, b] c∈[a,b]，使得：
∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ⋅ ( b − a ) \int_a^b f(x)\,dx = f(c) \cdot (b - a) ∫abf(x)dx=f(c)⋅(b−a)
这个定理的几何意义是，函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ([a, b]) 上的定积分等于某个点 c c c 处的函数值乘以区间长度。
推导与关系：
定积分的中值定理可以看作是函数平均值定理在积分形式下的推广。假设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ([a, b]) 上的平均值为 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx b−a1∫abf(x)dx，那么根据中值定理，我们可以找到一个点 c c c，使得：
f ( c ) = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx f(c)=b−a1∫abf(x)dx
从而得出定积分的中值定理。