数学基础 -- 线性代数之行列式不变性推导
行列式不变性的推导
我们要证明：给矩阵的一行（或列）加上另一行（或列）的倍数，这种操作不会改变行列式的值。
问题描述
假设我们有一个矩阵 A A A，其大小为 3 × 3 3 \times 3 3×3，如果我们将其第 1 行加上第 2 行的倍数，得到新的矩阵 A ′ A' A′。我们需要证明矩阵 A A A 的行列式和矩阵 A ′ A' A′ 的行列式是相等的。
给定矩阵 A A A 如下：
A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} A= a11a21a31a12a22a32a13a23a33
我们构造一个新的矩阵 A ′ A' A′，其中第 1 行变为原第 1 行加上第 2 行的 k k k 倍：
A ′ = ( a 11 + k ⋅ a 21 a 12 + k ⋅ a 22 a 13 + k ⋅ a 23 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A' = \begin{pmatrix} a_{11} + k \cdot a_{21} & a_{12} + k \cdot a_{22} & a_{13} + k \cdot a_{23} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} A′= a11+k⋅a21a21a31a12+k⋅a22a22a32a13+k⋅a23a23a33
行列式计算
矩阵 A A A 的行列式计算如下：
det ( A ) = a 11 ⋅ det ( a 22 a 23 a 32 a 33 ) − a 12 ⋅ det ( a 21 a 23 a 31 a 33 ) + a 13 ⋅ det ( a 21 a 22 a 31 a 32 ) \text{det}(A) = a_{11} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - a_{12} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + a_{13} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} det(A)=a11⋅det(a22a32a23a33)−a12⋅det(a21a31a23a33)+a13⋅det(a21a31a22a32)
矩阵 A ′ A' A′ 的行列式为：
det ( A ′ ) = ( a 11 + k ⋅ a 21 ) ⋅ det ( a 22 a 23 a 32 a 33 ) − ( a 12 + k ⋅ a 22 ) ⋅ det ( a 21 a 23 a 31 a 33 ) + ( a 13 + k ⋅ a 23 ) ⋅ det ( a 21 a 22 a 31 a 32 ) \text{det}(A') = (a_{11} + k \cdot a_{21}) \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - (a_{12} + k \cdot a_{22}) \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + (a_{13} + k \cdot a_{23}) \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} det(A′)=(a11+k⋅a21)⋅det(a22a32a23a33)−(a12+k⋅a22)⋅det(a21a31a23a33)+(a13+k⋅a23)⋅det(a21a31a22a32)
我们可以将这个展开式分成两部分：
-
原矩阵 A A A 的行列式部分：
a 11 ⋅ det ( a 22 a 23 a 32 a 33 ) − a 12 ⋅ det ( a 21 a 23 a 31 a 33 ) + a 13 ⋅ det ( a 21 a 22 a 31 a 32 ) a_{11} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - a_{12} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + a_{13} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} a11⋅det(a22a32a23a33)−a12⋅det(a21a31a23a33)+a13⋅det(a21a31a22a32)
这部分正是原矩阵 A A A 的行列式，即 det ( A ) \text{det}(A) det(A)。 -
由第 2 行的倍数带来的新项：
k ⋅ ( a 21 ⋅ det ( a 22 a 23 a 32 a 33 ) − a 22 ⋅ det ( a 21 a 23 a 31 a 33 ) + a 23 ⋅ det ( a 21 a 22 a 31 a 32 ) ) k \cdot \left( a_{21} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - a_{22} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + a_{23} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \right) k⋅(a21⋅det(a22a32a23a33)−a22⋅det(a21a31a23a33)+a23⋅det(a21a31a22a32))
这部分对应于矩阵中第 1 行和第 2 行相同的情况。根据行列式的性质，如果矩阵有两行相同，那么行列式为 0。因此，这一部分为 0。
结论
因此，矩阵 A ′ A' A′ 的行列式为：
det ( A ′ ) = det ( A ) + 0 = det ( A ) \text{det}(A') = \text{det}(A) + 0 = \text{det}(A) det(A′)=det(A)+0=det(A)
这证明了：给矩阵的一行加上另一行的倍数不会改变行列式的值。