08:导数-导数的定义及几何意义
1.导数的定义
定义：设f(x)在x的邻域内有定义，若极限 lim △ x → 0 f ( x + △ x ) − f ( x ) △ x 存在 ( 即常数 ) \lim_{△x \to 0} \frac{f(x+△x)-f(x)}{△x} 存在(即常数) △x→0lim△xf(x+△x)−f(x)存在(即常数)，则称该极限为f(x)在x处的导数，记作 f ′ ( x ) 或 d f ( x ) f ( x ) f′(x)或 \frac{df(x)}{f(x)} f′(x)或f(x)df(x)
① ⇒ f ′ ( x ) = lim △ x → 0 f ( x + △ x ) − f ( x ) △ x ①\Rightarrow f′(x)= \lim_{△x \to 0} \frac{f(x+△x)-f(x)}{△x} ①⇒f′(x)=△x→0lim△xf(x+△x)−f(x)
② ⇒ f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 ②\Rightarrow f′(x)= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} ②⇒f′(x)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
左导数： f − ′ ( x ) = lim x → x 0 − f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f^′_-(x)= \lim_{x \to {x_0}^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f−′(x)=x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)
y右导数： f + ′ ( x ) = lim x → x 0 + f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f^′_+(x)= \lim_{x \to {x_0}^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f+′(x)=x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)
1.1导数存在的充要条件
定理： f ( x ) 在 x = x 0 处可导的充要条件： f − ′ ( x 0 ) = f + ′ ( x 0 ) f(x)在x=x_0处可导的充要条件：f^′_-(x_0)=f^′_+(x_0) f(x)在x=x0处可导的充要条件：f−′(x0)=f+′(x0)
例1：设f(x)=|x|,问f(x)在x=0处是否可导?
解：思路：问是否可导 ⇒ \Rightarrow ⇒ f − ′ ( x 0 ) = f + ′ ( x 0 ) f^′_-(x_0)=f^′_+(x_0) f−′(x0)=f+′(x0)
f ( x ) = { x , x≥0 − x , x<0 f(x) = \begin{cases} x, & \text{x≥0} \\ -x, & \text{x<0} \\ \end{cases} f(x)={x,−x,x≥0x<0
f − ′ ( 0 ) = f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = − x − 0 x − 0 = − 1 f^′_-(0)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{-x-0}{x-0}=-1 f−′(0)=x−0f(x)−f(0)=x−0−x−0=−1
f + ′ ( 0 ) = f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = x − 0 x − 0 = 1 f^′_+(0)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x-0}{x-0}=1 f+′(0)=x−0f(x)−f(0)=x−0x−0=1
∵ f − ′ ( x 0 ) ≠ f + ′ ( x 0 ) f^′_-(x_0)≠f^′_+(x_0) f−′(x0)=f+′(x0)
∴f(x)在x=0处不可导.
1.2可导与连续的关系
可导必连续，连续不一定可导