数学基础 -- 微积分之三角恒等式的积分
三角恒等式的积分
1. 基本三角函数的积分
例子 1： ∫ sin x d x \int \sin x \, dx ∫sinxdx
直接积分：
∫ sin x d x = − cos x + C \int \sin x \, dx = -\cos x + C ∫sinxdx=−cosx+C
例子 2： ∫ cos x d x \int \cos x \, dx ∫cosxdx
直接积分：
∫ cos x d x = sin x + C \int \cos x \, dx = \sin x + C ∫cosxdx=sinx+C
2. 积分包含乘积的三角函数
例子 3： ∫ sin 2 x d x \int \sin^2 x \, dx ∫sin2xdx
使用三角恒等式： sin 2 x = 1 − cos 2 x 2 \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} sin2x=21−cos2x
∫ sin 2 x d x = ∫ 1 − cos 2 x 2 d x \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx ∫sin2xdx=∫21−cos2xdx
分解为两个简单的积分：
∫ 1 − cos 2 x 2 d x = 1 2 ∫ 1 d x − 1 2 ∫ cos 2 x d x \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx ∫21−cos2xdx=21∫1dx−21∫cos2xdx
计算两个积分：
1 2 ∫ 1 d x = x 2 \frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{x}{2} 21∫1dx=2x
1 2 ∫ cos 2 x d x = 1 2 ⋅ sin 2 x 2 = sin 2 x 4 \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2x}{2} = \frac{\sin 2x}{4} 21∫cos2xdx=21⋅2sin2x=4sin2x
合并结果：
∫ sin 2 x d x = x 2 − sin 2 x 4 + C \int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C ∫sin2xdx=2x−4sin2x+C
例子 4： ∫ cos 2 x d x \int \cos^2 x \, dx ∫cos2xdx
使用三角恒等式： cos 2 x = 1 + cos 2 x 2 \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} cos2x=21+cos2x
∫ cos 2 x d x = ∫ 1 + cos 2 x 2 d x \int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx ∫cos2xdx=∫21+cos2xdx
分解为两个简单的积分：
∫ 1 + cos 2 x 2 d x = 1 2 ∫ 1 d x + 1 2 ∫ cos 2 x d x \int \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx ∫21+cos2xdx=21∫1dx+21∫cos2xdx
计算两个积分：
1 2 ∫ 1 d x = x 2 \frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{x}{2} 21∫1dx=2x
1 2 ∫ cos 2 x d x = 1 2 ⋅ sin 2 x 2 = sin 2 x 4 \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2x}{2} = \frac{\sin 2x}{4} 21∫cos2xdx=21⋅2sin2x=4sin2x
合并结果：
∫ cos 2 x d x = x 2 + sin 2 x 4 + C \int \cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C ∫cos2xdx=2x+4sin2x+C
3. 积分涉及三角函数的乘积
例子 5： ∫ sin x cos x d x \int \sin x \cos x \, dx ∫sinxcosxdx
使用三角恒等式： sin 2 x = 2 sin x cos x \sin 2x = 2 \sin x \cos x sin2x=2sinxcosx
sin x cos x = 1 2 sin 2 x \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x sinxcosx=21sin2x
因此：
∫ sin x cos x d x = ∫ 1 2 sin 2 x d x \int \sin x \cos x \, dx = \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx ∫sinxcosxdx=∫21sin2xdx
直接积分：
∫ 1 2 sin 2 x d x = − 1 4 cos 2 x + C \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = -\frac{1}{4} \cos 2x + C ∫21sin2xdx=−41cos2x+C