数学基础 -- 线性函数与仿射函数
线性函数与仿射函数
线性函数
定义： 线性函数是形式为 f ( x ) = a x f(x) = ax f(x)=ax 的函数，其中 a a a 是常数。它的特点是图像是通过原点的直线，即它没有常数项。
性质：
- 图像： 经过原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)的直线。
- 加法和标量乘法的封闭性： 对于任何两个线性函数 f ( x ) = a 1 x f(x) = a_1x f(x)=a1x 和 g ( x ) = a 2 x g(x) = a_2x g(x)=a2x，它们的加法和标量乘法依然是线性函数。
- 斜率： 斜率由 a a a 决定。
示例： f ( x ) = 3 x f(x) = 3x f(x)=3x 是一个线性函数。
仿射函数
定义： 仿射函数是形式为 f ( x ) = a x + b f(x) = ax + b f(x)=ax+b 的函数，其中 a a a 和 b b b 是常数。它是线性函数的一个扩展，其中加入了一个常数项 b b b，使得图像不再必须经过原点。
性质：
- 图像： 一条直线，但不一定经过原点。
- 加法和标量乘法的封闭性： 对于任何两个仿射函数 f ( x ) = a 1 x + b 1 f(x) = a_1x + b_1 f(x)=a1x+b1 和 g ( x ) = a 2 x + b 2 g(x) = a_2x + b_2 g(x)=a2x+b2，它们的加法和标量乘法依然是仿射函数。
- 斜率和截距： 斜率由 a a a 决定，截距由 b b b 决定。
示例： f ( x ) = 3 x + 2 f(x) = 3x + 2 f(x)=3x+2 是一个仿射函数。
区别
- 线性函数 不包含常数项，所以它的图像始终经过原点。
- 仿射函数 包含一个常数项 b b b，使得它的图像可以不经过原点。
简单来说，所有的线性函数都是仿射函数，但不是所有的仿射函数都是线性函数。