线性代数 第六讲 特征值和特征向量_相似对角化_实对称矩阵_重点题型总结详细解析
文章目录
- 1.特征值和特征向量
- 1.1 特征值和特征向量的定义
- 1.2 特征值和特征向量的求法
- 1.3 特征值特征向量的主要结论
- 2.相似
- 2.1 相似的定义
- 2.2 相似的性质
- 2.3 相似的结论
- 3.相似对角化
- 4.实对称矩阵
- 4.1 实对称矩阵的基本性质
- 4.2 施密特正交化
- 5.重难点题型总结
- 5.1 判断矩阵能否相似对角化
- 5.2 已知两个矩阵相似，求某个矩阵中的未知参数
- 5.3 相似时，求可逆矩阵P，使得P^-1^AP为对角矩阵
- 5.4 求正交矩阵Q，使Q^T^AQ=Λ
- 5.5 给出条件矩阵A方=A，我们能分析出什么？
- 5.6 已知A为三阶实对称矩阵，三个特征值组成形式为(二重根+单根)和单根特征值的对应的特征向量，求另外两个特征向量
1.特征值和特征向量
1.1 特征值和特征向量的定义
A为n阶，α是n维非0列向量
Aα=λα，α叫A对应λ的特征向量，叫λ特征值
1.2 特征值和特征向量的求法
⭐️三种求法:
- 方法一:利用定义Aα=λα
- 方法二:｜λE-A｜=0,利用行列式和基础解系
- 方法三:利用相似，P-1AP=B
方法一:
定义法，定义法常常用于A是抽象形式的矩阵，求解其特征值和特征向量的问题。
方法二:
理论基础:
由定义 A α = λ α ， α ≠ 0 ⇒ ( λ E − A ) α = 0 , α ≠ 0 ⇒ α 是 ( λ E − A ) x = 0 的非 0 解 由定义A\alpha = \lambda \alpha ，\alpha \neq 0\\\Rightarrow \left(\lambda E - A\right)\alpha = 0,\alpha \neq 0\\\Rightarrow \alpha 是\left(\lambda E - A\right)x = 0的非0解 由定义Aα=λα，α=0⇒(λE−A)α=0,α=0⇒α是(λE−A)x=0的非0解
为什么先用行列式计算特征值，特征向量不能是零向量，所以是非零解，齐次线性方程是非零解，所以行列式=0，所以用行列式计算特征值，再用基础解系计算特征向量。
一.常规计算步骤
特征值的计算步骤:
第一步,计算行列式｜λE-A｜,因为存在非零解，秩必然是不满的，行列式=0，求出特征值。
第二步，通过求出的特征向量，代入回（λE-A）α=0这个齐次线性方程中，计算出特征向量即齐次线性方程的解向量。
二.通过已积累的结论，直接得出特征值
(1)上下三角矩阵，对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素。
[ 1 2 4 0 3 5 0 0 6 ] , 特征值为 λ 1 = 1 ， λ 2 = 3 ， λ 3 = 6 \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{matrix}\right],特征值为\lambda _{1} = 1，\lambda _{2} = 3，\lambda _{3} = 6 100230456 ,特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=6
(2)秩1矩阵，特征值是它的迹，其余都是0
[ a a a a a a a a a ] 特征值为 λ 1 = 3 a ， λ 2 = 0 ， λ 3 = 0 \left[\begin{matrix} a & a & a \\ a & a & a \\ a & a & a \\ \end{matrix}\right]特征值为\lambda _{1} = 3a，\lambda _{2} = 0，\lambda _{3} = 0 aaaaaaaaa 特征值为λ1=3a，λ2=0，λ3=0
(3)通过已知矩阵A的特征值和特征向量，直接得到关于A矩阵其他基本变形的特征值和特征向量
f(A)多项式与A相似
1.3 特征值特征向量的主要结论
- 如a1a2是矩阵A关于特征值λ的特征向量，则k1a1+k2a2(非0时)仍是A关于λ的的特征向量。若a1a2是不同特征值的特征向量，则k1a1+k2a2不是A关于λ的的特征向量
∣ A ∣ = Π λ i , 其中 Π 是连乘 Σ λ i = Σ a i i = t r ( A ) , 矩阵的迹是特征值的和 \left|A\right| = \Pi \lambda _{i},其中\Pi 是连乘\\\Sigma \lambda _{i} = \Sigma a_{ii} = t_{r}\left(A\right),矩阵的迹是特征值的和 ∣A∣=Πλi,其中Π是连乘Σλi=Σaii=tr(A),矩阵的迹是特征值的和
3.不同特征值的特征向量线性无关
4.λi是属于A的k重特征值，属于λi的k重特征向量最多不超过k个。
2.相似
2.1 相似的定义
相似的定义：
A矩阵相似于B，A~B,意味着存在可逆矩阵P使P-1AP=B
注意注意：A相似于B，这句话是有方向性的，规定是P-1AP=B，而B=PAP-1,A相似于B不能颠倒，没有P-1BP=A这种说法
2.2 相似的性质
A~B,则有以下结论
(1)|A|=|B|
(2)r(A)=r(B)
(3)|λE-A|=|λE-B|,即λA=λB
(4)迹相同，特征值都相同,迹肯定相同
(5)A,B的各阶主子式之和分别相等
关于性质（5）的说明,各阶主子式就是选行和选列的时候，行下标和列下标是一样的，下面给出列子，给出三阶矩阵，求二阶主子式，二阶主子式仅适合用于0多的题
[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] ，二阶主子式， [ 1 2 4 5 ] ， [ 1 3 4 6 ] ， [ 2 3 5 6 ] ， [ 4 5 7 8 ] ， [ 4 6 7 9 ] ， [ 5 6 8 9 ] \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{matrix}\right]，二阶主子式，\left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ \end{matrix}\right]，\left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \\ \end{matrix}\right]，\left[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right]，\left[\begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\ \end{matrix}\right]，\left[\begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\ \end{matrix}\right]，\left[\begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\ \end{matrix}\right] 147258369 ，二阶主子式，[1425]，[1436]，[2536]，[4758]，[4769]，[5869]
(6)充要条件 A~B, A+kE~B+kE
2.3 相似的结论
A与B相似的进一步推导结论
矩阵A与B相似
- A-1相似于B-1
- A*相似于B*
- AT相似于BT
- 关于分块矩阵
若 A ～ C ， B ～ D , 则 [ A O O B ] ～ [ C O O D ] 若A～C，B～D,则\left[\begin{matrix} A & O \\ O & B \\ \end{matrix}\right]～\left[\begin{matrix} C & O \\ O & D \\ \end{matrix}\right] 若A～C，B～D,则[AOOB]～[COOD]
3.相似对角化
A为n阶矩阵，存在n阶可逆矩阵P，若P-1AP=Λ，则称A可相似对角化，记做A~Λ，称对角矩阵是A的相似标准型。
关于相似对角化的结论总结:
注意充要条件和充分条件
4.实对称矩阵
4.1 实对称矩阵的基本性质
关于实对称矩阵，有更良好的性质，直接就满足可以相似对角化，并且还可以用正交矩阵相似对角化
实对称矩阵AT=A
1.实对称矩阵必与对角矩阵相似(可相似对角化）
2.实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交
3.实对称矩阵可用正交矩阵相似对角化
Q-1AQ=QTAQ=Λ
因为QQT=E,.Q-1=QT
4.2 施密特正交化
根据 实对称矩阵的基本性质，不同特征值的特征向量相互正交，所以我们应该使用施密特正交化将相同特征值下的特征向量正交化，最后特征向量都要单位化。
施密特正交化公式:
5.重难点题型总结
5.1 判断矩阵能否相似对角化
例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.15
例题2:来源 李永乐线代辅导讲义 例5.18
5.2 已知两个矩阵相似，求某个矩阵中的未知参数
解题思路:常常利用两个矩阵相似的性质，若相似矩阵之间的迹相等，行列式相等，各阶主子式之和相等
5.3 相似时，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵
利用相似的传递性
例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.20
5.4 求正交矩阵Q，使QTAQ=Λ
例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.27
5.5 给出条件矩阵A方=A，我们能分析出什么？
有些题目中，给出矩阵A2=A的时候，我们可以得到两方面信息，一方面是关于秩，一方面是关于特征值。
关于秩：
A 2 = A ⇒ A 2 − A = 0 ⇒ A ( A − E ) = 0 ⇒ r ( A ) + r ( A − E ) ≤ n A − ( A − E ) = E ⇒ r ( A ) + r ( B ) ≥ r ( A + B ) ⇒ r ( A ) + r ( A − E ) ≥ r ( E ) = n 综上所述，结论如下： r ( A ) + r ( A − E ) = n A^{2} = A\Rightarrow A^{2} - A = 0\Rightarrow A\left(A - E\right) = 0\Rightarrow r\left(A\right) + r\left(A - E\right) \leq n\\A - \left(A - E\right) = E\Rightarrow r\left(A\right) + r\left(B\right) \geq r\left(A + B\right)\Rightarrow r\left(A\right) + r\left(A - E\right) \geq r\left(E\right) = n\\综上所述，结论如下：r\left(A\right) + r\left(A - E\right) = n A2=A⇒A2−A=0⇒A(A−E)=0⇒r(A)+r(A−E)≤nA−(A−E)=E⇒r(A)+r(B)≥r(A+B)⇒r(A)+r(A−E)≥r(E)=n综上所述，结论如下：r(A)+r(A−E)=n
关于特征值：
5.6 已知A为三阶实对称矩阵，三个特征值组成形式为(二重根+单根)和单根特征值的对应的特征向量，求另外两个特征向量
先不谈这个问题，明确该类问题大方向
首先矩阵一定得是实对称的，因为它的底层原理是实对称向量内积=0
1.假如已知三个特征值，但是它们都是单根，已知一个特征值的特征向量，是无法求出另外两个特征向量的。
2.假如已知A的三个特征值的组成形式是(二重根+单根)和单根特征值的对应的特征向量，求另外两个特征向量，这是可以求出的。
3.假如已知A的三个特征值的组成形式是(二重根+单根)和重根特征值的对应的两个特征向量，求单根的特征向量，也是可以求出的。
