数集相等定义凸显“R各元x的对应x+1的全体=R”是几百年重大错误
黄小宁
变量x所取各数也均由x代表，x代表其变域（x所有能取的数组成的集）内任一元。设集A=｛x｝表A各元均由x代表，｛x｝中变量x的变域是A。其余类推。因各数x可是数轴上点的坐标所以x∈R变换为实数y=x+1的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)沿“管道”g保距平移变为点y=x+1。R可几何化为R轴，R各元x可几何化为R轴各元点x。
c=0.0001,R各元x保距变大为y=x+c>x组成元为y的｛y｝的几何意义可是：R轴即x轴各元点x沿“管道”g保距平移变为点y=x+c生成元为点y的y=x+c轴即x轴沿轴平移变为y=x+c轴（≌x轴）叠压在x轴上。自有函数概念几百年来数学一直认定定义域为R轴的y=x+c的值域=定义域。其实这是违反数集相等定义的几百年肉眼直观错觉。
数集相等的定义（可有相应的点集相等定义）：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元x与B各元y可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应、变换）则称A=B；若可一一对应相等或近似相等则A≈B（例｛3，5，6｝≈｛3，5，6.001≈6｝）。集各元变回自己的变换称为集的恒等变换。本文最关键的论据：若A与B是同一集则A必能恒等变换地变为B=A，即必可有：x↔y=x。
上述x轴各元x与y=x+c轴各元y=x+c≈x一一对应近似相等使y轴≈x轴。各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换, x轴近似恒等变换地变为y=x+c（≈x）轴≈x轴。显然R各元x只能与各对应数x+c≈x+0中的x一一对应相等而与各x+c≈x本身一一对应近似相等。可见中学的数集相等及近似相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+d（d是正常数）轴≠x轴，当平移的距离≈0时y轴≈x轴。
R各元x的对应y=x+c的全体Z=｛y｝，显然R绝大多数元x=h都有与之对应相等的元y=x+c=h∈Z。R各元x=h与各对应x+c=h一一对应相等：x=h↔x+c=h，但要注意箭头两边的x不是同一x，此x=h，彼x=h-c，x=h的变域是R。须特别注意：x+c=h的变域是R不等于x+c>x=h中的x+c的变域是R，不能因有x=h↔x+c=h而断定各x=h与各对应x+c>x一一对应相等。
在一维空间中的点集的各种平移变换：x↔y=x+d（↔两边的x是同一x）中显然当且仅当常数d=0时才能是一种特殊的平移：恒等变换的平移而有x↔y=x+d=x即当且仅当平移的距离|d|=0时各x与各对应数y=x+d才能一一对应相等。点集W各元点运动后还回到原位置的变换称为W的恒等变换。观察空间点集W的平移可知：在W的各种平移变换中显然当且仅当平移的距离=0时才能是一种特殊的平移：恒等变换的平移。故据点集相等的定义应有：
h几何起码常识:至少有两个元点的图A平移非0距离变为B（≌A）必≠A（因A不可恒等变换地变为B）。
详论见黄小宁已在“预印本”上公布的相应数学论文。
