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算法系列15天速成——第十二天树操作【中】

news 来源：原创 2024/5/3 3:10:58

原文: 算法系列15天速成——第十二天树操作【中】

先前说了树的基本操作，我们采用的是二叉链表来保存树形结构，当然二叉有二叉的困扰之处，比如我想找到当前结点

的“前驱”和“后继”，那么我们就必须要遍历一下树，然后才能定位到该“节点”的“前驱”和“后继”，每次定位都是O（n），这

不是我们想看到的，那么有什么办法来解决呢？

（1）在节点域中增加二个指针域，分别保存“前驱”和“后继”，那么就是四叉链表了，哈哈，还是有点浪费空间啊。

（2）看下面的这个二叉树，我们知道每个结点有2个指针域，4个节点就有8个指针域，其实真正保存节点的指针

仅有3个，还有5个是空闲的，那么为什么我们不用那些空闲的指针域呢，达到资源的合理充分的利用。

一：线索二叉树

1 概念

刚才所说的在空闲的指针域里面存放“前驱”和“后继”就是所谓的线索。

<1> 左线索：在空闲的左指针域中存放该“结点”的“前驱”被认为是左线索。

<2> 右线索：在空闲的右指针域中存放该“结点“的”后继“被认为是右线索。

当“二叉链表”被套上这种线索，就被认为是线索链表，当“二叉树”被套上这种线索就被认为是线索二叉树，当然线索根据

二叉树的遍历形式不同被分为“先序线索”，“中序线索”，“后序线索”。

2 结构图

说了这么多，我们还是上图说话，就拿下面的二叉树，我们构建一个中序线索二叉树，需要多动动脑子哟。

<1> 首先要找到“中序遍历”中的首结点D，因为“D结点”是首节点，所以不存在“前驱”，左指针自然是空，

”D节点”的右指针存放的是“后继”，那么根据“中序遍历”的规则应该是B，所以D的右指针存放着B节点。

<2> 接着就是“B节点”，他的左指针不为空，所以就不管了，但是他的“右指针”空闲，根据规则“B结点“的右

指针存放的是"A结点“。

<3> 然后就是“A节点”，他已经被塞的满满的，所以就没有“线索”可言了。

<4> 最后就是“C节点”，根据规则，他的“左指针”存放着就是“A节点“，”C节点“是最后一个节点，右指针自然就是空的，你懂的。

3 基本操作

常用的操作一般有“创建线索二叉树”，”查找后继节点“，”查找前驱节点“，”遍历线索二叉树“，下面的操作我们就以”中序遍历“

来创建中序线索二叉树。

<1> 线索二叉树结构

从“结构图”中可以看到，现在结点的指针域中要么是”子节点（SubTree）“或者是”线索（Thread）“，此时就要设立标志位来表示指针域

存放的是哪一种。

 1     #region 节点标识(用于判断孩子是节点还是线索)
 2     /// <summary>
 3 /// 节点标识(用于判断孩子是节点还是线索)
 4 /// </summary>
 5     public enum NodeFlag
 6     {
 7         SubTree = 1,
 8         Thread = 2
 9     }
10     #endregion
11 
12     #region 线索二叉树的结构
13     /// <summary>
14 /// 线索二叉树的结构
15 /// </summary>
16 /// <typeparam name="T"></typeparam>
17     public class ThreadTree<T>
18     {
19         public T data;
20         public ThreadTree<T> left;
21         public ThreadTree<T> right;
22         public NodeFlag leftFlag;
23         public NodeFlag rightFlag;
24     }
25     #endregion

<2> 创建线索二叉树

刚才也说了如何构建中序线索二叉树，在代码实现中，我们需要定义一个节点来保存当前节点的前驱，我练习的时候迫不得已，只能使用两个

ref来实现地址操作，达到一个Tree能够让两个变量来操作。

 1 #region 中序遍历构建线索二叉树
 2         /// <summary>
 3 /// 中序遍历构建线索二叉树
 4 /// </summary>
 5 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 6 /// <param name="tree"></param>
 7         public void BinTreeThreadingCreate_LDR<T>(ref ThreadTree<T> tree, ref ThreadTree<T> prevNode)
 8         {
 9             if (tree == null)
10                 return;
11 
12             //先左子树遍历，寻找起始点
13             BinTreeThreadingCreate_LDR(ref tree.left, ref prevNode);
14 
15             //如果left为空，则说明该节点可以放“线索”
16             tree.leftFlag = (tree.left == null) ? NodeFlag.Thread : NodeFlag.SubTree;
17 
18             //如果right为空，则说明该节点可以放“线索”
19             tree.rightFlag = (tree.right == null) ? NodeFlag.Thread : NodeFlag.SubTree;
20 
21             if (prevNode != null)
22             {
23                 if (tree.leftFlag == NodeFlag.Thread)
24                     tree.left = prevNode;
25                 if (prevNode.rightFlag == NodeFlag.Thread)
26                     prevNode.right = tree;
27             }
28 
29             //保存前驱节点
30             prevNode = tree;
31 
32             BinTreeThreadingCreate_LDR(ref tree.right, ref prevNode);
33         }
34         #endregion

<3> 查找后继结点

现在大家都知道，后继结点都是保存在“结点“的右指针域中，那么就存在”两种情况“。

《1》拿“B节点“来说，他没有右孩子，则肯定存放着线索（Thread),所以我们直接O（1）的返回他的线索即可。

《2》拿“A节点”来说，他有右孩子，即右指针域存放的是SubTree，悲哀啊，如何才能得到“A节点“的后继呢？其实也很简单，

根据”中序“的定义，”A节点“的后继必定是”A节点“的右子树往左链找的第一个没有左孩子的节点（只可意会，不可言传，嘻嘻）。

 1 #region 查找指定节点的后继
 2         /// <summary>
 3 /// 查找指定节点的后继
 4 /// </summary>
 5 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 6 /// <param name="tree"></param>
 7         public ThreadTree<T> BinTreeThreadNext_LDR<T>(ThreadTree<T> tree)
 8         {
 9             if (tree == null)
10                 return null;
11 
12             //如果查找节点的标志域中是Thread，则直接获取
13             if (tree.rightFlag == NodeFlag.Thread)
14                 return tree.right;
15             else
16             {
17                 //根据中序遍历的规则是寻找右子树中中序遍历的第一个节点
18                 var rightNode = tree.right;
19 
20                 //如果该节点是subTree就需要循环遍历
21                 while (rightNode.leftFlag == NodeFlag.SubTree)
22                 {
23                     rightNode = rightNode.left;
24                 }
25                 return rightNode;
26             }
27         }
28         #endregion

<4> 查找前驱节点

这个跟（3)的操作很类似，同样也具有两个情况。

《1》拿“C结点”来说，他没有“左子树”，则说明“C节点”的左指针为Thread，此时，我们只要返回左指针域即可得到前驱结点。

《2》拿"A节点“来说，他有”左子树“，则说明”A节点“的左指针为SubTree，那么怎么找的到”A节点“的前驱呢？同样啊，根据

”中序遍历“的性质，我们可以得知在”A节点“的左子树中往”右链“中找到第一个没有”右孩子“的节点。

 1 #region 查找指定节点的前驱
 2         /// <summary>
 3 /// 查找指定节点的前驱
 4 /// </summary>
 5 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 6 /// <param name="tree"></param>
 7 /// <returns></returns>
 8         public ThreadTree<T> BinTreeThreadPrev_LDR<T>(ThreadTree<T> tree)
 9         {
10             if (tree == null)
11                 return null;
12 
13             //如果标志域中存放的是线索，那么可以直接找出来
14             if (tree.leftFlag == NodeFlag.Thread)
15                 return tree.left;
16             else
17             {
18                 //根据”中序“的规则可知，如果不为Thread，则要找出左子树的最后节点
19 //也就是左子树中最后输出的元素
20                 var leftNode = tree.left;
21 
22                 while (leftNode.rightFlag == NodeFlag.SubTree)
23                     leftNode = leftNode.right;
24 
25                 return leftNode;
26             }
27         }
28         #endregion

<5> 遍历线索二叉树

因为我们构建线索的时候采用的是“中序”，那么我们遍历同样采用“中序”，大家是否看到了“线索”的好处，此时我们找某个节点的时间复杂度变为了

O(1) ~0(n)的时间段，比不是线索的时候查找“前驱"和“后继”效率要高很多。

 1 #region 遍历线索二叉树
 2         /// <summary>
 3 /// 遍历线索二叉树
 4 /// </summary>
 5 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 6 /// <param name="tree"></param>
 7         public void BinTreeThread_LDR<T>(ThreadTree<T> tree)
 8         {
 9             if (tree == null)
10                 return;
11 
12             while (tree.leftFlag == NodeFlag.SubTree)
13                 tree = tree.left;
14 
15             do
16             {
17                 Console.Write(tree.data + "\t");
18 
19                 tree = BinTreeThreadNext_LDR(tree);
20 
21             } while (tree != null);
22 
23         }
24         #endregion

最后上一下总的运行代码

View Code

  1 using System;
  2 using System.Collections.Generic;
  3 using System.Linq;
  4 using System.Text;
  5 
  6 namespace ThreadChainTree
  7 {
  8     class Program
  9     {
 10         static void Main(string[] args)
 11         {
 12             ThreadTreeManager manager = new ThreadTreeManager();
 13 
 14             //生成根节点
 15             ThreadTree<string> tree = CreateRoot();
 16 
 17             //生成节点
 18             AddNode(tree);
 19 
 20             ThreadTree<string> prevNode = null;
 21 
 22             //构建线索二叉树
 23             manager.BinTreeThreadingCreate_LDR(ref tree, ref prevNode);
 24 
 25             Console.WriteLine("\n线索二叉树的遍历结果为：\n");
 26             //中序遍历线索二叉树
 27             manager.BinTreeThread_LDR(tree);
 28         }
 29 
 30         #region 生成根节点
 31         /// <summary>
 32 /// 生成根节点
 33 /// </summary>
 34 /// <returns></returns>
 35         static ThreadTree<string> CreateRoot()
 36         {
 37             ThreadTree<string> tree = new ThreadTree<string>();
 38 
 39             Console.WriteLine("请输入根节点，方便我们生成树\n");
 40 
 41             tree.data = Console.ReadLine();
 42 
 43             Console.WriteLine("根节点生成已经生成\n");
 44 
 45             return tree;
 46         }
 47         #endregion
 48 
 49         #region 插入节点操作
 50         /// <summary>
 51 /// 插入节点操作
 52 /// </summary>
 53 /// <param name="tree"></param>
 54         static ThreadTree<string> AddNode(ThreadTree<string> tree)
 55         {
 56             ThreadTreeManager mananger = new ThreadTreeManager();
 57 
 58             while (true)
 59             {
 60                 ThreadTree<string> node = new ThreadTree<string>();
 61 
 62                 Console.WriteLine("请输入要插入节点的数据：\n");
 63 
 64                 node.data = Console.ReadLine();
 65 
 66                 Console.WriteLine("请输入要查找的父节点数据：\n");
 67 
 68                 var parentData = Console.ReadLine();
 69 
 70                 if (tree == null)
 71                 {
 72                     Console.WriteLine("未找到您输入的父节点，请重新输入。");
 73                     continue;
 74                 }
 75 
 76                 Console.WriteLine("请确定要插入到父节点的：1 左侧，2 右侧");
 77 
 78                 Direction direction = (Direction)Enum.Parse(typeof(Direction), Console.ReadLine());
 79 
 80                 tree = mananger.BinTreeThreadAddNode(tree, node, parentData, direction);
 81 
 82                 Console.WriteLine("插入成功，是否继续？  1 继续， 2 退出");
 83 
 84                 if (int.Parse(Console.ReadLine()) == 1)
 85                     continue;
 86                 else
 87                     break;
 88             }
 89 
 90             return tree;
 91         }
 92         #endregion
 93     }
 94 
 95     #region 节点标识(用于判断孩子是节点还是线索)
 96     /// <summary>
 97 /// 节点标识(用于判断孩子是节点还是线索)
 98 /// </summary>
 99     public enum NodeFlag
100     {
101         SubTree = 1,
102         Thread = 2
103     }
104     #endregion
105 
106     #region 线索二叉树的结构
107     /// <summary>
108 /// 线索二叉树的结构
109 /// </summary>
110 /// <typeparam name="T"></typeparam>
111     public class ThreadTree<T>
112     {
113         public T data;
114         public ThreadTree<T> left;
115         public ThreadTree<T> right;
116         public NodeFlag leftFlag;
117         public NodeFlag rightFlag;
118     }
119     #endregion
120 
121     #region 插入左节点或者右节点
122     /// <summary>
123 /// 插入左节点或者右节点
124 /// </summary>
125     public enum Direction { Left = 1, Right = 2 }
126     #endregion
127 
128     #region 线索二叉树的基本操作
129     /// <summary>
130 /// 线索二叉树的基本操作
131 /// </summary>
132     public class ThreadTreeManager
133     {
134         #region 将指定节点插入到二叉树中
135         /// <summary>
136 /// 将指定节点插入到二叉树中
137 /// </summary>
138 /// <typeparam name="T"></typeparam>
139 /// <param name="tree"></param>
140 /// <param name="node"></param>
141 /// <param name="direction">插入做左是右</param>
142 /// <returns></returns>
143         public ThreadTree<T> BinTreeThreadAddNode<T>(ThreadTree<T> tree, ThreadTree<T> node, T data, Direction direction)
144         {
145             if (tree == null)
146                 return null;
147 
148             if (tree.data.Equals(data))
149             {
150                 switch (direction)
151                 {
152                     case Direction.Left:
153                         if (tree.left != null)
154                             throw new Exception("树的左节点不为空，不能插入");
155                         else
156                             tree.left = node;
157 
158                         break;
159                     case Direction.Right:
160                         if (tree.right != null)
161                             throw new Exception("树的右节点不为空，不能插入");
162                         else
163                             tree.right = node;
164 
165                         break;
166                 }
167             }
168 
169             BinTreeThreadAddNode(tree.left, node, data, direction);
170             BinTreeThreadAddNode(tree.right, node, data, direction);
171 
172             return tree;
173         }
174         #endregion
175 
176         #region 中序遍历构建线索二叉树
177         /// <summary>
178 /// 中序遍历构建线索二叉树
179 /// </summary>
180 /// <typeparam name="T"></typeparam>
181 /// <param name="tree"></param>
182         public void BinTreeThreadingCreate_LDR<T>(ref ThreadTree<T> tree, ref ThreadTree<T> prevNode)
183         {
184             if (tree == null)
185                 return;
186 
187             //先左子树遍历，寻找起始点
188             BinTreeThreadingCreate_LDR(ref tree.left, ref prevNode);
189 
190             //如果left为空，则说明该节点可以放“线索”
191             tree.leftFlag = (tree.left == null) ? NodeFlag.Thread : NodeFlag.SubTree;
192 
193             //如果right为空，则说明该节点可以放“线索”
194             tree.rightFlag = (tree.right == null) ? NodeFlag.Thread : NodeFlag.SubTree;
195 
196             if (prevNode != null)
197             {
198                 if (tree.leftFlag == NodeFlag.Thread)
199                     tree.left = prevNode;
200                 if (prevNode.rightFlag == NodeFlag.Thread)
201                     prevNode.right = tree;
202             }
203 
204             //保存前驱节点
205             prevNode = tree;
206 
207             BinTreeThreadingCreate_LDR(ref tree.right, ref prevNode);
208         }
209         #endregion
210 
211         #region 查找指定节点的后继
212         /// <summary>
213 /// 查找指定节点的后继
214 /// </summary>
215 /// <typeparam name="T"></typeparam>
216 /// <param name="tree"></param>
217         public ThreadTree<T> BinTreeThreadNext_LDR<T>(ThreadTree<T> tree)
218         {
219             if (tree == null)
220                 return null;
221 
222             //如果查找节点的标志域中是Thread，则直接获取
223             if (tree.rightFlag == NodeFlag.Thread)
224                 return tree.right;
225             else
226             {
227                 //根据中序遍历的规则是寻找右子树中中序遍历的第一个节点
228                 var rightNode = tree.right;
229 
230                 //如果该节点是subTree就需要循环遍历
231                 while (rightNode.leftFlag == NodeFlag.SubTree)
232                 {
233                     rightNode = rightNode.left;
234                 }
235                 return rightNode;
236             }
237         }
238         #endregion
239 
240         #region 查找指定节点的前驱
241         /// <summary>
242 /// 查找指定节点的前驱
243 /// </summary>
244 /// <typeparam name="T"></typeparam>
245 /// <param name="tree"></param>
246 /// <returns></returns>
247         public ThreadTree<T> BinTreeThreadPrev_LDR<T>(ThreadTree<T> tree)
248         {
249             if (tree == null)
250                 return null;
251 
252             //如果标志域中存放的是线索，那么可以直接找出来
253             if (tree.leftFlag == NodeFlag.Thread)
254                 return tree.left;
255             else
256             {
257                 //根据”中序“的规则可知，如果不为Thread，则要找出左子树的最后节点
258 //也就是左子树中最后输出的元素
259                 var leftNode = tree.left;
260 
261                 while (leftNode.rightFlag == NodeFlag.SubTree)
262                     leftNode = leftNode.right;
263 
264                 return leftNode;
265             }
266         }
267         #endregion
268 
269         #region 遍历线索二叉树
270         /// <summary>
271 /// 遍历线索二叉树
272 /// </summary>
273 /// <typeparam name="T"></typeparam>
274 /// <param name="tree"></param>
275         public void BinTreeThread_LDR<T>(ThreadTree<T> tree)
276         {
277             if (tree == null)
278                 return;
279 
280             while (tree.leftFlag == NodeFlag.SubTree)
281                 tree = tree.left;
282 
283             do
284             {
285                 Console.Write(tree.data + "\t");
286 
287                 tree = BinTreeThreadNext_LDR(tree);
288 
289             } while (tree != null);
290 
291         }
292         #endregion
293     }
294     #endregion
295 }