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BZOJ4071 洛谷3644 UOJ112：[APIO2015]巴邻旁之桥——题解

news 来源：原创 2024/5/6 8:47:33

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4071

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3644

http://uoj.ac/problem/112

一条东西走向的穆西河将巴邻旁市一分为二，分割成了区域 A 和区域 B。

每一块区域沿着河岸都建了恰好 1000000001 栋的建筑，每条岸边的建筑都从 0 编号到 1000000000。相邻的每对建筑相隔 1 个单位距离，河的宽度也是 1 个单位长度。区域 A 中的 i 号建筑物恰好与区域 B 中的 i 号建筑物隔河相对。

城市中有 N 个居民。第 i 个居民的房子在区域 Pi 的 Si 号建筑上，同时他的办公室坐落在 Qi 区域的 Ti 号建筑上。一个居民的房子和办公室可能分布在河的两岸，这样他就必须要搭乘船只才能从家中去往办公室，这种情况让很多人都觉得不方便。为了使居民们可以开车去工作，政府决定建造不超过 K 座横跨河流的大桥。

由于技术上的原因，每一座桥必须刚好连接河的两岸，桥梁必须严格垂直于河流，并且桥与桥之间不能相交。当政府建造最多 K 座桥之后，设 Di 表示第 i 个居民此时开车从家里到办公室的最短距离。请帮助政府建造桥梁，使得 D1+D2+⋯+DN 最小。

参考：https://www.cnblogs.com/zhenghaotian/p/8304917.html

对于同岸和走桥的代价先预处理，下面不在阐述。

k=1时，相当于找到一个点，使得所有起点和终点到该点的距离和最小。则我们排序在中间两点中间建桥则一定最优。就不证明了。

k=2时不能按k=1做（因为起点和终点需要用的桥是一样的），但是选桥的代价为（A起点，B桥，C终点）A->B->C，显然选一个近的桥最优，用程序表达的话就是离AC中点最近的桥。

所以以此排序，枚举分界点，其左右都是k=1的情况，用线段树做即可。

（简单聊下心路历程：开始k=1秒后想k=2，没考虑起点终点桥一样以为三分可过，结果第二个样例就跪了，后来思考之后排序后三分是O(nlog^2n)结果洛谷评测机死活没卡过去TAT果然还是太菜了我）

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=200100;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
inline char getc(){
    char ch=0;
    while(ch!='A'&&ch!='B')ch=getchar();
    return ch;
}
struct node{
    int l,r;
}q[N];
int m,tot,b[N];
ll num[2][N*4],sum[2][N*4],L[2],R[2];
bool cmp(node a,node b){return a.l+a.r<b.l+b.r;}
void LSH(){
    sort(b+1,b+m+1);
    m=unique(b+1,b+m+1)-b-1;
    for(int i=1;i<=tot;i++){
    q[i].l=lower_bound(b+1,b+m+1,q[i].l)-b;
    q[i].r=lower_bound(b+1,b+m+1,q[i].r)-b;
    }
}
void insert(int a,int l,int r,int k,ll w,int p){
    num[p][a]+=w,sum[p][a]+=w*b[k];
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(k<=mid)insert(a*2,l,mid,k,w,p);
    else insert(a*2+1,mid+1,r,k,w,p);
}
int find(int a,int l,int r,int k,int p){
    if(l==r){
    L[0]+=sum[p][a],L[1]+=num[p][a];
    return b[l];
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(num[p][a*2]>=k){
    R[0]+=sum[p][a*2+1],R[1]+=num[p][a*2+1];
    return find(a*2,l,mid,k,p);
    }else{
    L[0]+=sum[p][a*2],L[1]+=num[p][a*2];
    return find(a*2+1,mid+1,r,k-num[p][a*2],p);
    }
}
int main(){
    int k=read(),n=read();
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        char ch1=getc();
        ll u=read();
        char ch2=getc();
        ll v=read();
        if(ch1==ch2){
        ans+=abs(u-v);
        continue;
        }
        ans++;
        b[++m]=u,b[++m]=v;
        if(k==2){
        q[++tot]=(node){u,v};
        }
    }
    if(k==1){
        sort(b+1,b+m+1);
        for(int i=1,j=m;i<j;i++,j--)ans+=b[j]-b[i];
        printf("%lld\n",ans);
    }else{
    if(!tot){
        printf("%lld\n",ans);
        return 0;
    }
        sort(q+1,q+tot+1,cmp);
    LSH();
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        insert(1,1,m,q[i].l,1,1);
        insert(1,1,m,q[i].r,1,1);
    }
    int x=find(1,1,m,tot,1);
    ll tmp=x*L[1]-L[0]+R[0]-x*R[1];
    for(int i=1;i<tot;i++){
        insert(1,1,m,q[i].l,1,0);
        insert(1,1,m,q[i].r,1,0);
        insert(1,1,m,q[i].l,-1,1);
        insert(1,1,m,q[i].r,-1,1);
        ll all=0;
        L[0]=L[1]=R[0]=R[1]=0;
        x=find(1,1,m,i,0);
        all+=x*L[1]-L[0]+R[0]-x*R[1];
        L[0]=L[1]=R[0]=R[1]=0;
        x=find(1,1,m,tot-i,1);
        all+=x*L[1]-L[0]+R[0]-x*R[1];
        tmp=min(tmp,all);
    }
    printf("%lld\n",ans+tmp);
    }
    return 0;
}