Tr A
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Problem Description
A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。
Input
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。
Output
对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。
Sample Input
2 2 2 1 0 0 1 3 99999999 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sample Output
2 2686
Author
Source
HDU 2007-1 Programming Contest
矩阵乘法模板题
给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。
由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据
这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。
递归实现POW函数
Matrix POW( Matrix t,int k )
{
if( k == 1 )
return t;
Matrix t1 = POW( t, k/2 );
t1 = t1*t1;
if( k & 1 )
return t1 * t;
else
return t1;
}
递归的容易理解，但时间花费较多。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int mod=9973; int n,k; struct Matrix{ int arr[12][12]; }; Matrix init,unit; Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){ Matrix c; for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++){ c.arr[i][j]=0; for(int k=0;k<n;k++) c.arr[i][j]=(c.arr[i][j]+a.arr[i][k]*b.arr[k][j]%mod)%mod; c.arr[i][j]%=mod; } return c; } Matrix Pow(Matrix a,Matrix b,int x){ while(x){ if(x&1){ b=Mul(b,a); } x>>=1; a=Mul(a,a); } return b; } int main(){ //freopen("input.txt","r",stdin); int t; scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++){ scanf("%d",&init.arr[i][j]); unit.arr[i][j]=init.arr[i][j]; } Matrix res=Pow(init,unit,k-1); int ans=0; for(int i=0;i<n;i++) ans=(ans+res.arr[i][i])%mod; printf("%d\n",ans%mod); } return 0; }
一些练习：
POJ 3070 Fibonacci： http://poj.org/problem?id=3070
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; struct Matrix{ int m[2][2]; }; Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){ Matrix c; for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++){ c.m[i][j]=0; for(int k=0;k<2;k++) c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]; c.m[i][j]%=10000; } return c; } Matrix Pow(int k){ Matrix unit,res; for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++){ unit.m[i][j]=res.m[i][j]=(i+j==2)?0:1; } while(k){ if(k&1){ res=Mul(res,unit); } unit=Mul(unit,unit); k>>=1; } return res; } int main(){ //freopen("input.txt","r",stdin); int n; while(~scanf("%d",&n) && n!=-1){ Matrix tmp=Pow(n); /* printf("-----------------\n"); for(int i=0;i<2;i++){ for(int j=0;j<2;j++) printf("%d ",tmp.m[i][j]); printf("\n"); } printf("-----------------\n"); */ printf("%d\n",tmp.m[1][1]); } return 0; }
HDU 1005 Number Sequence: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1005
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; struct Matrix{ int m[2][2]; }; int A,B,n; Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){ Matrix c; for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++){ c.m[i][j]=0; for(int k=0;k<2;k++) c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]; c.m[i][j]%=7; } return c; } Matrix Pow(int k){ Matrix res,unit; for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) res.m[i][j]=(i!=j)?0:1; unit.m[0][0]=0; unit.m[0][1]=B; unit.m[1][0]=1; unit.m[1][1]=A; while(k){ if(k&1){ res=Mul(res,unit); } unit=Mul(unit,unit); k>>=1; } return res; } int main(){ //freopen("input.txt","r",stdin); while(~scanf("%d%d%d",&A,&B,&n)){ if(A==0 && B==0 && n==0) break; if(n==1 || n==2){ printf("1\n"); continue; } Matrix res=Pow(n-2); printf("%d\n",(res.m[0][1]+res.m[1][1])%7); } return 0; }